Страница 1 из 2
частота малых колебаний
Добавлено: 07 янв 2016, 11:55
w.wrobel
Это такой педагогический вопрос. Вот часто в учебниках формулируется такая задача: имеется система с одной степенью свободы, найти частоту малых колебаний системы в окрестности некоторого положения равновесия. А в каком-нибудь уччебнике вообще содержится аккуратное и формальное объяснение, в каком смысле надо понимать малость колебаний и какое отношение эта частота имеет к исходной системе? Какова погрешность приближения, растет ли эта погрешность со временем и т.д. Это все достаточно элементарно, конечно, но это не значит, что это не должно обсуждаться в курсах физики ИМХО
частота малых колебаний
Добавлено: 07 янв 2016, 13:05
zykov
В том смысле, что система в этой области почти линейна (с такой-то точностью).
Такое, что малые колебания происходят с этой частотой (в пределах точности).
частота малых колебаний
Добавлено: 07 янв 2016, 15:06
w.wrobel
я бы предложил такую формулировку. пусть система с одной степенью свободы
$$ имеет в точке
$$ устойчивое положение равновесия:
$$ и не сужая общности можно считать, что V(0)=0. Константа интеграла энергии
$$ нумерует траектории. Положению равновесия соотвествует значение h=0. В окрестности положения равновесия живут периодические решения, решение с энергией h имеет период
$$.
Пусть
$$ -- период малых колебаний. Т.е. период колебаний в линеризованной системе.
Утв.
$$Мне кажется, что такие утверждения надо явно формулировать и доказывать. Или предлагать в качестве задачи в учебниках.
частота малых колебаний
Добавлено: 07 янв 2016, 17:39
kkdil
Это так называемые "бескончно малые". На современном языке - дифференциалы. Отсюда и выше упомянутая линейность.
частота малых колебаний
Добавлено: 07 янв 2016, 19:37
w.wrobel
есть колебания в линейной системе и есть ммалые (но не бесконечно малые) колебания в нелинейной системе и речь идет о том как связаны частоты этих колебаний.
Предыдущую формулу можно чуток уточнить
$$
частота малых колебаний
Добавлено: 07 янв 2016, 19:41
homosapiens4android
В физике вообще мало что нужно кому-токому-то строго математически доказывать. В данном случае все прекрасно понимают, что такое малые колебания - это когда система описывается достоверно первым членом разложения в ряд. Физический смысл крайне прост: возвращающая в положение равновесия сила прямо пропорциональна отклонению. Если это условие соблюдается - все, мы имеем дело с мплыми колебаниями. Зачем нужна строгость в физике - абсолютно низачем.
частота малых колебаний
Добавлено: 07 янв 2016, 19:53
w.wrobel
homosapiens4android писал(а):Source of the post Физический смысл крайне прост: возвращающая в положение равновесия сила прямо пропорциональна отклонению. Если это условие соблюдается - все, мы имеем дело с мплыми колебаниями.
если в системе несколько степеней свободы, то это уаже неврно вообще говоря. в том смысле, что поведение линеризованной системы может никаого отношения не иметь к поведению нелинейной системы в окрестности положения равновесия. Так что нужна таки строгость.
частота малых колебаний
Добавлено: 07 янв 2016, 20:00
homosapiens4android
Чегой-это? Ну пусть у вас любая обобщённая координата достаточно мала, вместо простого квадратного уравнения (в случае одной степени свободы) будет квадратичная форма. Маятник представляете себе? Ну пусть он в двух плоскостях малые колебания совершает, ничего не изменится. Решение все равно нормальное получите.
частота малых колебаний
Добавлено: 07 янв 2016, 20:04
w.wrobel
есть такое явление "диффузия Арнольда"
частота малых колебаний
Добавлено: 07 янв 2016, 20:04
homosapiens4android
Ещё раз : какой смысл говорить о нелинейной системе около положения равновесия? Есть такие задачи? Любую нелинейную систему при малых колебаниях можно свести к линейной. Просто сказать, что раз все малое, то и нелинейность - нахрен. Если у вас в физической задаче появляется нелинейность, то это уже явно не для обычных курсов физики - это уже матфизика, все такое.