частота малых колебаний

w.wrobel · Сообщение **w.wrobel** » 07 янв 2016, 11:55

Это такой педагогический вопрос. Вот часто в учебниках формулируется такая задача: имеется система с одной степенью свободы, найти частоту малых колебаний системы в окрестности некоторого положения равновесия. А в каком-нибудь уччебнике вообще содержится аккуратное и формальное объяснение, в каком смысле надо понимать малость колебаний и какое отношение эта частота имеет к исходной системе? Какова погрешность приближения, растет ли эта погрешность со временем и т.д. Это все достаточно элементарно, конечно, но это не значит, что это не должно обсуждаться в курсах физики ИМХО

zykov · Сообщение **zykov** » 07 янв 2016, 13:05

w.wrobel писал(а):Source of the post каком смысле надо понимать малость колебаний

В том смысле, что система в этой области почти линейна (с такой-то точностью).

w.wrobel писал(а):Source of the post какое отношение эта частота имеет к исходной системе

Такое, что малые колебания происходят с этой частотой (в пределах точности).

w.wrobel · Сообщение **w.wrobel** » 07 янв 2016, 15:06

я бы предложил такую формулировку. пусть система с одной степенью свободы $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24L%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da%28x%29%5Cdot%20x%5E2-V%28x%29%2C%5Cquad%20a%28x%29%3E0%24%24" alt="$$L=\frac{1}{2}a(x)\dot x^2-V(x),\quad a(x)>0$$" title="$$L=\frac{1}{2}a(x)\dot x^2-V(x),\quad a(x)>0$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $ имеет в точке $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3D0%24%24" alt="$$x=0$$" title="$$x=0$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$

$ устойчивое положение равновесия: $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24V%26%2339%3B%280%29%3D0%2C%5Cquad%20V%26%2339%3B%26%2339%3B%280%29%3E0%24%24" alt="$$V'(0)=0,\quad V''(0)>0$$" title="$$V'(0)=0,\quad V''(0)>0$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $ и не сужая общности можно считать, что V(0)=0. Константа интеграла энергии $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24h%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da%28x%29%5Cdot%20x%5E2%2BV%28x%29%24%24" alt="$$h=\frac{1}{2}a(x)\dot x^2+V(x)$$" title="$$h=\frac{1}{2}a(x)\dot x^2+V(x)$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $ нумерует траектории. Положению равновесия соотвествует значение h=0. В окрестности положения равновесия живут периодические решения, решение с энергией h имеет период $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ctau%28h%29%24%24" alt="$$\tau(h)$$" title="$$\tau(h)$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $.
Пусть $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ctau_0%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Ba%280%29%7D%7BV%26%2339%3B%26%2339%3B%280%29%7D%7D%24%24" alt="$$\tau_0=2\pi\sqrt{\frac{a(0)}{V''(0)}}$$" title="$$\tau_0=2\pi\sqrt{\frac{a(0)}{V''(0)}}$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $ -- период малых колебаний. Т.е. период колебаний в линеризованной системе.
Утв. $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Clim_%7Bh%5Cto%200%7D%5Ctau%28h%29%3D%5Ctau_0%24%24" alt="$$\lim_{h\to 0}\tau(h)=\tau_0$$" title="$$\lim_{h\to 0}\tau(h)=\tau_0$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $
Мне кажется, что такие утверждения надо явно формулировать и доказывать. Или предлагать в качестве задачи в учебниках.

kkdil · Сообщение **kkdil** » 07 янв 2016, 17:39

w.wrobel писал(а):Source of the post в каком смысле надо понимать малость колебаний

Это так называемые "бескончно малые". На современном языке - дифференциалы. Отсюда и выше упомянутая линейность.

w.wrobel · Сообщение **w.wrobel** » 07 янв 2016, 19:37

есть колебания в линейной системе и есть ммалые (но не бесконечно малые) колебания в нелинейной системе и речь идет о том как связаны частоты этих колебаний.

Предыдущую формулу можно чуток уточнить $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ctau%28h%29%3D%5Ctau_0%2BO%28%5Csqrt%20h%29%24%24" alt="$$\tau(h)=\tau_0+O(\sqrt h)$$" title="$$\tau(h)=\tau_0+O(\sqrt h)$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $

homosapiens4android

В физике вообще мало что нужно кому-токому-то строго математически доказывать. В данном случае все прекрасно понимают, что такое малые колебания - это когда система описывается достоверно первым членом разложения в ряд. Физический смысл крайне прост: возвращающая в положение равновесия сила прямо пропорциональна отклонению. Если это условие соблюдается - все, мы имеем дело с мплыми колебаниями. Зачем нужна строгость в физике - абсолютно низачем.

w.wrobel · Сообщение **w.wrobel** » 07 янв 2016, 19:53

homosapiens4android писал(а):Source of the post Физический смысл крайне прост: возвращающая в положение равновесия сила прямо пропорциональна отклонению. Если это условие соблюдается - все, мы имеем дело с мплыми колебаниями.

если в системе несколько степеней свободы, то это уаже неврно вообще говоря. в том смысле, что поведение линеризованной системы может никаого отношения не иметь к поведению нелинейной системы в окрестности положения равновесия. Так что нужна таки строгость.

homosapiens4android

Чегой-это? Ну пусть у вас любая обобщённая координата достаточно мала, вместо простого квадратного уравнения (в случае одной степени свободы) будет квадратичная форма. Маятник представляете себе? Ну пусть он в двух плоскостях малые колебания совершает, ничего не изменится. Решение все равно нормальное получите.

w.wrobel · Сообщение **w.wrobel** » 07 янв 2016, 20:04

есть такое явление "диффузия Арнольда"

homosapiens4android

Ещё раз : какой смысл говорить о нелинейной системе около положения равновесия? Есть такие задачи? Любую нелинейную систему при малых колебаниях можно свести к линейной. Просто сказать, что раз все малое, то и нелинейность - нахрен. Если у вас в физической задаче появляется нелинейность, то это уже явно не для обычных курсов физики - это уже матфизика, все такое.

yourdomain.com