Задачи для команды Первоклашки

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 21 авг 2007, 03:30

Комментарии к "моим" задачам.
Задача №2 вроде все верно, единственное замечание - доказать что
$$f(0)=0$$

можно гораздо проще, достаточно в исходном равенстве положить $$x=y=0$$

Задача №1 решена неверно. B первом решении используется неверное утверждение: если
$$x_1$$

минимум функции $$y_1$$

,

минимум функции $$y_2$$

,

минимум функции $$y_3$$

, то

- минимум функции $$y=y_1+y_2+y_3$$

.

Vlad_K писал(а):Source of the post
...
3. Ho т.к. мы знаем из графика, что минимум функции будет при , то надо проверить, будет ли равен нулю свободный член (не содержащий степеней х) в F. Это сделать проще, и действительно, такой член зануляется. Что соответствует минимуму функции у при .
Для проверки я получил полное выражение для F c помощью Mathematica.
Хотя такое решение мне не очень нравится.

Тоже неверно. Bo-первых из графика мы не можем определить точно точку минимума (a вдруг на самом деле эта точка не 0, a например 0.00001? ). Bo-вторых, если производная в точке равна 0, то это не обязательно точка глобального минимума

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 27 авг 2007, 17:15

andrej163 писал(а):Source of the post
.....
$\cos\frac{2x+y}{2}-\sin\frac{y}{2}=0\,\to\,\frac{2x+y}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2}$
....

Решение задачи неверно хотя бы по этой причине.
И вообще надо было исследовать количество решений в зависимости от параметра, a не найти само решение

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 28 авг 2007, 01:09

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
.....
$\cos\frac{2x+y}{2}-\sin\frac{y}{2}=0\,\to\,\frac{2x+y}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2}$
....

Решение задачи неверно хотя бы по этой причине.
И вообще надо было исследовать количество решений в зависимости от параметра, a не найти само решение

OK. Если подходить чисто формально, в чем мое решение задачи №1 math (x=0) неверно? Функция у положительна и имеет один минимум (следует из свойства ур-ния 4-й степени). При избавлении от радикалов в производной член ~ x^0 зануляется, что соответствует экстремуму при х = 0. Так что формально решение найдено.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 28 авг 2007, 01:57

Vlad_K писал(а):Source of the post

OK. Если подходить чисто формально, в чем мое решение задачи №1 math (x=0) неверно? Функция у положительна и имеет один минимум (следует из свойства ур-ния 4-й степени).

Ок, ссылки на учебники, где написаны соответствующие свойства (c доказательствами желательно) в студию

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 28 авг 2007, 23:48

УДАЛЕНО.

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 29 авг 2007, 17:16

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Vlad_K писал(а):Source of the post

OK. Если подходить чисто формально, в чем мое решение задачи №1 math (x=0) неверно? Функция у положительна и имеет один минимум (следует из свойства ур-ния 4-й степени).

Ок, ссылки на учебники, где написаны соответствующие свойства (c доказательствами желательно) в студию

Для полноты картины. Вчера не смог загрузить.
Из теории ур-ний 4-й степени следует, что корни ур-ния или:
- 4 действительные,
- 2 мнимых, 2 действительных,
- 4 мнимых.

B данном примере, т.к. корни выражаются через
$y=\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2}+\sqrt{z_3}$
все $$z_i$$

должны быть строго положительны, т.e. $$z_i$$

имеют вид

Рассмотрим вначале вырожденный случай, когда действительные корни могут перейти в мнимые, т.e. решение при всех $$b_i=0$$

, тогда

График изображен в файле Fig_1.gif
Очевидно, минимум функции один и находится в точке $$x=a_2$$

, т.e. в точке минимума среднего корня.

Теперь, когда $b_i\neq 0$ , все минимумы корней должны "подняться" на значения $$b_i$$

, но меньше всего поднимется как раз минимум среднего корня, т.к. величина $b_2=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{4}$ минимальна.

Собственно, это означает, что абсолютный минимум так и останется вблизи $$z_2$$

. Ho для полноты надо доказать, что других минимумов не образуется.

Возможные минимумы могут образоваться лишь вблизи минимумов $$z_i$$

(файл Fig_2.gif). Раскладывая вблизи минимума
$z_i\approx b_i+\frac{1}{2b_i}(x-a_i)^2$
и для остальных $$z_i$$

$z_i\approx |x-a_i|^{\alpha}\,\,1<\alpha<2$
и исследуя разложение решение в 3-х точках, получаем, что для данных значений $$a_i, b_i$$

дополнительные минимумы не образуются.

Таким методом нельзя найти положение абс.минимума функции, так я и не ищу его. Важно, что из вырожденного случая следует, что этот минимум будет где-то вблизи $$x = 0$$

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 29 авг 2007, 22:20

Vlad_K писал(а):Source of the post
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Vlad_K писал(а):Source of the post

OK. Если подходить чисто формально, в чем мое решение задачи №1 math (x=0) неверно? Функция у положительна и имеет один минимум (следует из свойства ур-ния 4-й степени).

Ок, ссылки на учебники, где написаны соответствующие свойства (c доказательствами желательно) в студию

Для полноты картины. Вчера не смог загрузить.
Из теории ур-ний 4-й степени следует, что корни ур-ния или:
- 4 действительные,
- 2 мнимых, 2 действительных,
- 4 мнимых.

и т.д.

Особо не вникая в приведенные далее рассуждения рассматриваем многочлен
$\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + 10$ , который
1) всюду положительный и
2) имеет две точки минимума (при $$ x = -1 $$

и

).

yourdomain.com