Давайте я попытаюсь внести хоть какую-то ясность, а то в теме возникла жуткая окрошка из двух разных вопросов: про тензоры и про поля (в том числе тензорные).
Сначала о тензорах или, если кому-то нравится, о
свободных тензорах. Чтобы говорить о них, нужно начать с понятия группы. Так уж случилось, что физика описывает явления по существу геометрические, не зависящие от "точки зрения наблюдателя", но для арифметизации расчетов приходится использовать ту или иную конкретную "точку зрения". Реальная независимость физики от "точки зрения" выражается при этом инвариантностью соотношений относительно некоторой группы преобразований, переводящих одну точку зрения в другую. Таким образом, исходным положением является наличие некоторой группы преобразований, основная характеристика которой --- это закон композиции преобразований, то есть последовательного проведения двух преобразований из группы. Наиболее распространенный пример --- группа трехмерных вращений, выражающая изотропность трехмерного евклидового пространства. Композицию элементов группы часто называют умножением, а закон композиции (то есть какое преобразование группы C получится, если последовательно провести преобразования A и В) --- таблицей умножения для группы.
Второй объект, который придется упомянуть --- это
представление группы. Представлением называют реализацию элементов группы в виде преобразований базиса какого-либо линейного пространства. Тут надо заметить, что термин "представление" употребляется в двух смыслах: и как множество преобразований линейного пространства и как само это линейное пространство. У новичков это может вызвать путаницу, но обычно из контекста понятно, о чем идет речь.
Те, кто изучал линейную алгебру (а только для них, по сути, и пишется этот текст), должны сразу вспомнить, что преобразования базиса линейного пространства представляются квадратными матрицами (размер которых равен размерности пространства), а композиции преобразований соответствует произведение матриц. При этом, разумеется, должна соблюдаться таблица умножения группы. Отсюда видно, что построение представлений --- задача весьма нетривиальная. К счастью, для всех используемых в физике групп она решена, так что можно просто посмотреть в справочнике.
Теперь уже можно объяснить, что такое тензор. Тензор --- это элемент линейного пространства, на котором реализованно представление группы. Как уже отмечалось выше, часто говорят, что тензор и есть "представление группы" ("тензорное представление"). С геометрической точки зрения тензор представляет собой объект по сути геометрический, но по-разному выглядящий с разных "точек зрения".
Вернемся к примеру с группой трехмерных вращений. Простейшим тензором является
скаляр. Это элемент одномерного линейного пространства, а всем преобразованиям группы вращений в этом
скалярном представлении соответствуют единичным матрицы (1х1). Таким образом, скаляр вовсе не преобразуется при смене "точки зрения".
Второе по сложности представление --- векторное. Линейное пространство здесь трехмерно, а преобразования группы реализованы матрицами 3х3. Это всем известное представление.
Следующее по сложности представление группы вращений --- это представление тензорами второго ранга. Линейное пространства девятимерно, а преобразования группы реализованы матрицами 9х9. Правда, есть одна тонкость --- это представление
приводимо. Можно так выбрать множество базисов в нем, что все преобразования группы будут обладать следующим свойством: если преобразование переводит базис A в базис B, то первый вектор базиса B будет выражаться только через первый вектор базиса A, три следующих вектора базиса B --- только через три следующих вектора базиса A, а последние пять векторов базиса B --- только через последние пять векторов базиса A. Иначе говоря, все матрицы, соответствующие преобразованиям группы, будут блочно диагональными 1+3+5. При этом блок 1х1 будет просто единичной матрицей, а блок 3х3 --- совпадать с матрицами векторного представления, оставшийся же блок 5х5 соответствует преобразованию симметричного бесследового тензора. Говорят, что тензорное представление распадается в
прямую сумму скалярного, векторного и симметричного бесследового тензорного представлений. Эти три представления уже нельзя разложить, поэтому они называются
неприводимыми. В теории групп задача как раз обычно состоит в отыскании неприводимых представлений, именно они перечислены в справочниках.
Следующее по сложности неприводимое представление --- симметричными по любой паре индексов и дающими нуль при свертывании тензорами третьего ранга. Линейное пространство таких тензоров имеет размерность 7. И так далее.
Примеры физических величин, которыя являются тензорами второго ранга: момент инерции твердого тела, деформация упругого тела и напряжения в нем, диэлектрическая проницаемость (для анизотропных тел) и т. д.
Теперь ответы на некоторые вопросы, прозвучавшие в теме.
Тензоры второго ранга (для группы трехмерных вращений) часто записывают в виде матриц. Если преобразование вектора имеет вид
то преобразование тензора, записанного как матрица, имеет вид
Здесь
--- ортогональная матрица из векторного представлении группы вращений.
Матрица преобразования тензором, разумеется, не является. Я понимаю, откуда такой вопрос: ведь индексы у нее есть!
Матрица
(равно как
), разумеется, симметрична.
Группы преобразований часто возникают как группы, относительно которых инварианты некоторые квадратичные формы. Например, относительно группы вращений инвариантно евклидово скалярное произведение.
По поводу векторов и ковекторов. У группы может быть не одно, а несколько
разных представлений одной и той же размерности. Ну, скажем, два представления размерности 3. Вот тогда и говорят о векторных и ковекторных представлениях. У группы вращений только одно представление размерности 3, никаких ковекторов в этом случае нет. А вот, скажем, у группы Лоренца есть два представления размерности 4, тут можно говорить о векторах и ковекторах.
Сюда же относится вопрос об обозначении ранга тензора одним либо двумя числами. Фактически речь идет об идентификации различных наприводимых представлений. Для группы вращений индекс один, а для группы Лоренца --- два: число "верхних" и "нижних" индексов.
Про тензорные поля напишу отдельно, если хватит сил.
--метрический тензор, откуда следует, что он всегда симметричен. Верно?
