Поскольку Bujhm меня просил выложить решения в его отстутствие, то я выкладываю решения всех задач кроме задачи №4 по физике, которую Angerran выложит сам.
Математика:
1)
Решение1 способ
Преобразуем фукнцию:
![$$y=\sqrt{x^2+(x-1)^2}+\sqrt{(x-\frac {\sqrt{3}} {2})^2+(x+\frac {1} {2})^2}+\sqrt{(x+\frac {\sqrt{3}} {2})^2+(x+\frac {1} {2})^2}$$ $$y=\sqrt{x^2+(x-1)^2}+\sqrt{(x-\frac {\sqrt{3}} {2})^2+(x+\frac {1} {2})^2}+\sqrt{(x+\frac {\sqrt{3}} {2})^2+(x+\frac {1} {2})^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%2B%28x-1%29%5E2%7D%2B%5Csqrt%7B%28x-%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%20%7B2%7D%29%5E2%2B%28x%2B%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%29%5E2%7D%2B%5Csqrt%7B%28x%2B%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%20%7B2%7D%29%5E2%2B%28x%2B%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%29%5E2%7D%24%24)
Рассмотрим точки
![$$T(x,x)$$ $$T(x,x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T%28x%2Cx%29%24%24)
![$$A(0,1)$$ $$A(0,1)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24A%280%2C1%29%24%24)
![$$B\(\frac {\sqrt{3}} {2},-\frac {1} {2}\)$$ $$B\(\frac {\sqrt{3}} {2},-\frac {1} {2}\)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24B%5C%28%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%20%7B2%7D%2C-%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%5C%29%24%24)
![$$C\(-\frac {\sqrt{3}} {2},-\frac {1} {2}\)$$ $$C\(-\frac {\sqrt{3}} {2},-\frac {1} {2}\)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C%5C%28-%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%20%7B2%7D%2C-%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%5C%29%24%24)
у представляет сосбой сумму расстояний от точки T до точек A,B,C. Лекго проверить, что точки A,B,C явля.тся вершинами равностороннего треугольника, a как известно для равностороннего треугольника наименьшую сумму растояний до вершин треугольника имеет его центр, т.e точка (0,0). Таким образом,
![$$y_{min}=y(0)=3$$ $$y_{min}=y(0)=3$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y_%7Bmin%7D%3Dy%280%29%3D3%24%24)
2 способ
для векторов
![$$c=(x+1,1+x\sqrt{3})$$ $$c=(x+1,1+x\sqrt{3})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24c%3D%28x%2B1%2C1%2Bx%5Csqrt%7B3%7D%29%24%24)
имеем
![$$3\sqrt{2}=|a+b+c|\le |a|+|b|+|c|=y\sqrt{2}$$ $$3\sqrt{2}=|a+b+c|\le |a|+|b|+|c|=y\sqrt{2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%243%5Csqrt%7B2%7D%3D%7Ca%2Bb%2Bc%7C%5Cle%20%7Ca%7C%2B%7Cb%7C%2B%7Cc%7C%3Dy%5Csqrt%7B2%7D%24%24)
, откуда
![$$y\ge 3$$ $$y\ge 3$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%5Cge%203%24%24)
. Нетрудно видеть что
![$$y=3$$ $$y=3$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D3%24%24)
при
![$$x=0$$ $$x=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3D0%24%24)
, таким образом
![$$y_{min}=y(0)=3$$ $$y_{min}=y(0)=3$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y_%7Bmin%7D%3Dy%280%29%3D3%24%24)
2) Найти все дифференцируемые функции
![$$f$$ $$f$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%24%24)
, для которых для любых
![$$x,y \in R$$ $$x,y \in R$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%2Cy%20%5Cin%20R%24%24)
выполняется равенство
РешениеЗафиксируем y и продифференцируем обе части равенства по х:
![$$f'(x+y)=f'(x)+y$$ $$f'(x+y)=f'(x)+y$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%26%2339%3B%28x%2By%29%3Df%26%2339%3B%28x%29%2By%24%24)
для любых у.
или
![$$\frac {f'(x+y)-f'(x)} {y}=1$$ $$\frac {f'(x+y)-f'(x)} {y}=1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7Bf%26%2339%3B%28x%2By%29-f%26%2339%3B%28x%29%7D%20%7By%7D%3D1%24%24)
Взяв в последнем равенстве предел от обеих частей при
![$$y \to 0$$ $$y \to 0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%20%5Cto%200%24%24)
получим
![$$f''(x)=1$$ $$f''(x)=1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%26%2339%3B%26%2339%3B%28x%29%3D1%24%24)
или
![$$f(x)=x^2/2+bx+c$$ $$f(x)=x^2/2+bx+c$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3Dx%5E2%2F2%2Bbx%2Bc%24%24)
. Поскольку
![$$f(0)=0$$ $$f(0)=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%280%29%3D0%24%24)
, то
![$$c=0$$ $$c=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24c%3D0%24%24)
,
т.e
![$$f(x)=x^2/2+bx$$ $$f(x)=x^2/2+bx$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3Dx%5E2%2F2%2Bbx%24%24)
. Подставив найденное решение в уравнение, получаем, что равенство будет выполнено при любых b
3) Решить в целых числах уравнение:
Решение:Приведём уравнение к виду:
![$$2y=4x+3+\frac {1} {2x-1}$$ $$2y=4x+3+\frac {1} {2x-1}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242y%3D4x%2B3%2B%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2x-1%7D%24%24)
, так как x и y - целые числа, то
![$$2x-1=\pm1$$ $$2x-1=\pm1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242x-1%3D%5Cpm1%24%24)
Ответ: (1;4), (0;1).
4)При всех значениях параметра
![$$a$$ $$a$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%24%24)
из отрезка
![$$[0,\frac {9 \pi^2} {4}]$$ $$[0,\frac {9 \pi^2} {4}]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5B0%2C%5Cfrac%20%7B9%20%5Cpi%5E2%7D%20%7B4%7D%5D%24%24)
определить количество решений (x, y) системы:
Решение:Пусть
![$$u=tgx$$ $$u=tgx$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24u%3Dtgx%24%24)
![$$v=ctgy$$ $$v=ctgy$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24v%3Dctgy%24%24)
Тогда второе уравнение системы примет вид:
![$$u+\sqrt{u^2+1}=v+\sqrt{v^2+1}$$ $$u+\sqrt{u^2+1}=v+\sqrt{v^2+1}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24u%2B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%3Dv%2B%5Csqrt%7Bv%5E2%2B1%7D%24%24)
(*), умножим это равенство на
![$$(\sqrt{u^2+1}-u)(\sqrt{v^2+1}-v)$$ $$(\sqrt{u^2+1}-u)(\sqrt{v^2+1}-v)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D-u%29%28%5Csqrt%7Bv%5E2%2B1%7D-v%29%24%24)
, получим:
![$$\sqrt{v^2+1}-v=\sqrt{u^2+1}-u$$ $$\sqrt{v^2+1}-v=\sqrt{u^2+1}-u$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Csqrt%7Bv%5E2%2B1%7D-v%3D%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D-u%24%24)
.
Складывая (*) c последним соотношением, получим
![$$u=v$$ $$u=v$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24u%3Dv%24%24)
. Поэтому исходная система равносильна системе:
![$$\{{x^2+y^2=a \\ tgx=ctgy}$$ $$\{{x^2+y^2=a \\ tgx=ctgy}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%7B%7Bx%5E2%2By%5E2%3Da%20%5C%5C%20tgx%3Dctgy%7D%24%24)
Анализируя взаимное расположение окружности, задаваемой первым уравнением c семейством прямых
![$$x+y=\frac {\ pii} {2}+\pi n, n \in Z$$ $$x+y=\frac {\ pii} {2}+\pi n, n \in Z$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%2By%3D%5Cfrac%20%7B%5C%20pii%7D%20%7B2%7D%2B%5Cpi%20n%2C%20n%20%5Cin%20Z%24%24)
(определяемых вторым уравнением системы) c учётом ОДЗ (
![$$y \not =\pi m, x \not =\frac {\pi} {2}+\pi k, m, k \in Z$$ $$y \not =\pi m, x \not =\frac {\pi} {2}+\pi k, m, k \in Z$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%20%5Cnot%20%3D%5Cpi%20%20m%2C%20x%20%5Cnot%20%3D%5Cfrac%20%7B%5Cpi%7D%20%7B2%7D%2B%5Cpi%20k%2C%20m%2C%20k%20%5Cin%20Z%24%24)
), получаем ответ:
При
![$$0 \leq a<\frac {\pi^2} {8}$$ $$0 \leq a<\frac {\pi^2} {8}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%240%20%20%5Cleq%20a%3C%5Cfrac%20%7B%5Cpi%5E2%7D%20%7B8%7D%24%24)
-решений нет;
при
![$$a=\frac {\pi^2} {8}$$ $$a=\frac {\pi^2} {8}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%3D%5Cfrac%20%7B%5Cpi%5E2%7D%20%7B8%7D%24%24)
-два решения;
при
![$$\frac {\pi^2} {8} \leq a \leq \frac {\pi^2} {4}$$ $$\frac {\pi^2} {8} \leq a \leq \frac {\pi^2} {4}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7B%5Cpi%5E2%7D%20%7B8%7D%20%5Cleq%20a%20%5Cleq%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%5E2%7D%20%7B4%7D%24%24)
- четыре решения;
при
![$$a=\frac {\pi^2} {4}$$ $$a=\frac {\pi^2} {4}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%3D%5Cfrac%20%7B%5Cpi%5E2%7D%20%7B4%7D%24%24)
-два решения;
при
![$$\frac {\pi^2} {4} <a < \frac {9 \pi^2} {8}$$ $$\frac {\pi^2} {4} <a < \frac {9 \pi^2} {8}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7B%5Cpi%5E2%7D%20%7B4%7D%20%3Ca%20%3C%20%5Cfrac%20%7B9%20%5Cpi%5E2%7D%20%7B8%7D%24%24)
-четыре решения;
при
![$$ a=\frac {9 \pi^2} {8}$$ $$ a=\frac {9 \pi^2} {8}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20a%3D%5Cfrac%20%7B9%20%5Cpi%5E2%7D%20%7B8%7D%24%24)
-шесть решений;
при
![$$\frac {9 \pi^2} {8}<a<\frac {5 \pi^2} {4}$$ $$\frac {9 \pi^2} {8}<a<\frac {5 \pi^2} {4}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7B9%20%5Cpi%5E2%7D%20%7B8%7D%3Ca%3C%5Cfrac%20%7B5%20%5Cpi%5E2%7D%20%7B4%7D%24%24)
- восемь решений;
при
![$$a=\frac {5 \pi^2} {4}$$ $$a=\frac {5 \pi^2} {4}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%3D%5Cfrac%20%7B5%20%5Cpi%5E2%7D%20%7B4%7D%24%24)
-четыре решения;
при
![$$\frac {5 \pi^2} {4}<a<\frac {9 \pi^2} {4}$$ $$\frac {5 \pi^2} {4}<a<\frac {9 \pi^2} {4}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7B5%20%5Cpi%5E2%7D%20%7B4%7D%3Ca%3C%5Cfrac%20%7B9%20%5Cpi%5E2%7D%20%7B4%7D%24%24)
- восемь решений;
при
![$$a=\frac {9 \pi^2} {4}$$ $$a=\frac {9 \pi^2} {4}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%3D%5Cfrac%20%7B9%20%5Cpi%5E2%7D%20%7B4%7D%24%24)
-шесть решений.
Физика:
1)K телу массой M=10 кг подвешено на верёвке тело массой m=4 кг. Macca верёвки mв=2 кг. Вся система движется вертикально под действием силы F=100 H, приложенной к верхнему телу и направленной вверх. Найти натяжение верёвки в её центре и в точках крепления тел (точки A, B, C).
Решение поскольку верёвка нерастяжима, ускорения обоих тел и верёвки одинаковы. Выберем напраление оси х вертикально вверх и в проекции на эту ось запишем второй закон Ньютона для системы всех тел:
![Изображение](http://e-science.ru/sites/default/files/upload_forums_files/xp/__________________2__________________.PNG)
![$$(M+m+m_v)a_x=F-(M+m+m_B)g$$ $$(M+m+m_v)a_x=F-(M+m+m_B)g$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28M%2Bm%2Bm_v%29a_x%3DF-%28M%2Bm%2Bm_B%29g%24%24)
;
![$$a_x=\frac {F} {M+m+m_B}-g$$ $$a_x=\frac {F} {M+m+m_B}-g$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a_x%3D%5Cfrac%20%7BF%7D%20%7BM%2Bm%2Bm_B%7D-g%24%24)
Нижнее тело движется c таким ускорением под действием двух сил:
![$$m \vec{g}$$ $$m \vec{g}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24m%20%5Cvec%7Bg%7D%24%24)
и
![$$\vec{T_B}$$ $$\vec{T_B}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cvec%7BT_B%7D%24%24)
. Используя выражение для ускорения и второй закон Ньютона для нижнего тела:
![$$ma_x=T_B-mg$$ $$ma_x=T_B-mg$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24ma_x%3DT_B-mg%24%24)
, находим силу натяжения в точке B:
![$$T_B=m \frac {F} {M+m+m_B}$$ $$T_B=m \frac {F} {M+m+m_B}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T_B%3Dm%20%5Cfrac%20%7BF%7D%20%7BM%2Bm%2Bm_B%7D%24%24)
.
Аналогично, записывая второй закон Ньютона для верхнего тела (на верхнее тело действует три силы
![$$M \vec{g}, \vec{T_A}, \vec{F}$$ $$M \vec{g}, \vec{T_A}, \vec{F}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24M%20%5Cvec%7Bg%7D%2C%20%5Cvec%7BT_A%7D%2C%20%5Cvec%7BF%7D%24%24)
)
![$$Ma_x=F-Mg-T_A$$ $$Ma_x=F-Mg-T_A$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Ma_x%3DF-Mg-T_A%24%24)
, получим силу натяжения в точке A:
![$$T_A=-\frac {MF} {M+m+m_B}+F=\frac {(m+m_B)F} {M+m+m_B}$$ $$T_A=-\frac {MF} {M+m+m_B}+F=\frac {(m+m_B)F} {M+m+m_B}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T_A%3D-%5Cfrac%20%7BMF%7D%20%7BM%2Bm%2Bm_B%7D%2BF%3D%5Cfrac%20%7B%28m%2Bm_B%29F%7D%20%7BM%2Bm%2Bm_B%7D%24%24)
.
Для нахождения силы натяжения верёвки в точке C запишем второй закон Ньютона для системы, состоящей из нижней половины верёвки и нижнего тела:
![$$(\frac {1} {2} m_B+m)a_x=T_c-(m+\frac {1} {2} m_B)g$$ $$(\frac {1} {2} m_B+m)a_x=T_c-(m+\frac {1} {2} m_B)g$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%20m_B%2Bm%29a_x%3DT_c-%28m%2B%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%20m_B%29g%24%24)
![$$T_c=(m+\frac {1} {2} m_B)(a_x+g)=\frac {F(2m+m_B)} {2(M+m+m_B)}$$ $$T_c=(m+\frac {1} {2} m_B)(a_x+g)=\frac {F(2m+m_B)} {2(M+m+m_B)}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T_c%3D%28m%2B%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%20m_B%29%28a_x%2Bg%29%3D%5Cfrac%20%7BF%282m%2Bm_B%29%7D%20%7B2%28M%2Bm%2Bm_B%29%7D%24%24)
.
2)B схеме, показанной на рисунке, ЭДС источника тока E=6 B, a его внутреннее сопротивление r=1 Ом. Сопротивление резисторов одинаковы и равны R1=R2=5 Ом. Ёмкость конденсатора C=1 мкФ. Определить изменение заряда конденсатора после замыкания ключа K
![Изображение](http://e-science.ru/sites/default/files/upload_forums_files/i4/____________________________36.png)
До замыкания ключа K напряжение на конденсаторе было равно
![$$U_c=IR_1=\frac {E} {R_1+r} R_1$$ $$U_c=IR_1=\frac {E} {R_1+r} R_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24U_c%3DIR_1%3D%5Cfrac%20%7BE%7D%20%7BR_1%2Br%7D%20R_1%24%24)
После замыкания ключа к резистору
![$$R_1$$ $$R_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24R_1%24%24)
параллельно подключается резистор
![$$R_2$$ $$R_2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24R_2%24%24)
. Их общее сопротивление равно
![$$R_{obsh}=\frac {R_1 R_2} {R_1+R_2}$$ $$R_{obsh}=\frac {R_1 R_2} {R_1+R_2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24R_%7Bobsh%7D%3D%5Cfrac%20%7BR_1%20R_2%7D%20%7BR_1%2BR_2%7D%24%24)
, a напряжение на конденсаторе будет
![$$U_c'=\frac {E} {\frac {R_1 R_2} {R_1+R_2}+r} \frac {R_1 R_2} {R_1+R_2}$$ $$U_c'=\frac {E} {\frac {R_1 R_2} {R_1+R_2}+r} \frac {R_1 R_2} {R_1+R_2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24U_c%26%2339%3B%3D%5Cfrac%20%7BE%7D%20%7B%5Cfrac%20%7BR_1%20R_2%7D%20%7BR_1%2BR_2%7D%2Br%7D%20%5Cfrac%20%7BR_1%20R_2%7D%20%7BR_1%2BR_2%7D%24%24)
Следовательно, соответствующее изменение заряда на конденсаторе равно
![$$\Delta q=q'-q=C(U_c'-U_c)=\frac {ER_1^2 rC} {R_1 R_2+r(R_1+R_2))(R_1+r)}$$ $$\Delta q=q'-q=C(U_c'-U_c)=\frac {ER_1^2 rC} {R_1 R_2+r(R_1+R_2))(R_1+r)}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CDelta%20q%3Dq%26%2339%3B-q%3DC%28U_c%26%2339%3B-U_c%29%3D%5Cfrac%20%7BER_1%5E2%20rC%7D%20%7BR_1%20R_2%2Br%28R_1%2BR_2%29%29%28R_1%2Br%29%7D%24%24)
.
3)3)Ha неподвижно лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости брусок массы m=1 кг, начинает действовать горизонтальная сила, равная по модулю весу бруска. Сила действует в течении t1=3 c, a затем исчезает. Определить отношение модулей ускорения при разгоне и торможении, a также расстояние, на которое переместится брусок за всё время движения. Коэффициент трения между бруском и поверхностью
![$$\nu=1/3$$ $$\nu=1/3$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cnu%3D1%2F3%24%24)
. Принять g=10 м/c^2
Решение:
![Изображение](http://e-science.ru/sites/default/files/upload_forums_files/kw/__________________61________.png)
Рассмотрим движение бруска на участке разгона(при
![$$0<t<t_1$$ $$0<t<t_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%240%3Ct%3Ct_1%24%24)
)
![$$m\vec{a_1}=\vec{F}+m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F_{tr}}$$ $$m\vec{a_1}=\vec{F}+m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F_{tr}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24m%5Cvec%7Ba_1%7D%3D%5Cvec%7BF%7D%2Bm%5Cvec%7Bg%7D%2B%5Cvec%7BN%7D%2B%5Cvec%7BF_%7Btr%7D%7D%24%24)
Спроектируем это уравнение на оси x и y:
![$$ma_{1x}=F-F_{tr}$$ $$ma_{1x}=F-F_{tr}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24ma_%7B1x%7D%3DF-F_%7Btr%7D%24%24)
![$$N=mg$$ $$N=mg$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24N%3Dmg%24%24)
.
Учтём, что по условию задачи
![$$F=mg$$ $$F=mg$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24F%3Dmg%24%24)
, a сила трения при скольжении бруска равна
![$$F_{tr}=\nu N$$ $$F_{tr}=\nu N$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24F_%7Btr%7D%3D%5Cnu%20N%24%24)
, тогда
![$$a_{1x}=g(1-\nu)=\frac {2} {3} g$$ $$a_{1x}=g(1-\nu)=\frac {2} {3} g$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a_%7B1x%7D%3Dg%281-%5Cnu%29%3D%5Cfrac%20%7B2%7D%20%7B3%7D%20g%24%24)
K моменту прекращения действия силы F ускорение бруска изменится:
![$$ma_{2x}=-\nu mg <=> a_{2x}-\nu g=-g/3$$ $$ma_{2x}=-\nu mg <=> a_{2x}-\nu g=-g/3$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24ma_%7B2x%7D%3D-%5Cnu%20mg%20%3C%3D%3E%20a_%7B2x%7D-%5Cnu%20g%3D-g%2F3%24%24)
.
Таким образом,
![$$\mid \frac {a_{1x}} {a_{2x}} \mid=2.$$ $$\mid \frac {a_{1x}} {a_{2x}} \mid=2.$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmid%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B1x%7D%7D%20%7Ba_%7B2x%7D%7D%20%20%5Cmid%3D2.%24%24)
.
Для определения перемещения бруска найдём время
![$$t_2$$ $$t_2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t_2%24%24)
, в течение которого он двигался c замедлением. Запишем выражения для скорости и координаты бруска после прекращения действия силы
![$$V_x=V_{1x}-gt/3$$ $$V_x=V_{1x}-gt/3$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24V_x%3DV_%7B1x%7D-gt%2F3%24%24)
![$$x=x_1+V_{1x}t-\frac {gt^2} {6}$$ $$x=x_1+V_{1x}t-\frac {gt^2} {6}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3Dx_1%2BV_%7B1x%7Dt-%5Cfrac%20%7Bgt%5E2%7D%20%7B6%7D%24%24)
.
B момент остановки
![$$t=t_2$$ $$t=t_2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t%3Dt_2%24%24)
скорость равна нулю, поэтому
![$$t_2=\frac {3V_{1x}} {g}=2t_1$$ $$t_2=\frac {3V_{1x}} {g}=2t_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t_2%3D%5Cfrac%20%7B3V_%7B1x%7D%7D%20%7Bg%7D%3D2t_1%24%24)
.
Таким образом, перемещение бруска равно
![$$x_2=x_1+V_{1x}t_2-\frac {gt_2^2} {6}=gt_1^2=90 $$ $$x_2=x_1+V_{1x}t_2-\frac {gt_2^2} {6}=gt_1^2=90 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x_2%3Dx_1%2BV_%7B1x%7Dt_2-%5Cfrac%20%7Bgt_2%5E2%7D%20%7B6%7D%3Dgt_1%5E2%3D90%20%24%24)
M.