Задачи для команды Выпускники

Soul · Сообщение **Soul** » 18 авг 2007, 16:14

M	Желательно сегодня выложить окончательные решения задач откоманды

A	Желательно сегодня выложить окончательные решения задач откоманды

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 19 авг 2007, 02:06

Так, начинаю потихоньку выкладывать окончательные решения.
Математика
1.
Всего можно выделить 4 "типа" параллелипипедов.

Причем параллелипипеды двух различных "типов" по любому не совпадают.
Подсчитаем количество параллелипипедов каждого типа
4-ого типа параллелипипед только 1. Он на рисунке.
1-ого типа очевидно 4 параллелипипеда

И еще один c основанием ABD
2-ой тип.
3 вершины соединенные линиями можно выбрать способами. Соединить три точки двумя линиями можно тремя способами. Итого получаем 12 параллелипипедов
C третим типом все абсолютно аналогично.
Итого 4+12+12+1=29 штук.

2.
Докажем лемму
$a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc} + \sqrt{ac}$ для a>0 b>0 c>0
Действительно, пользуясь неравенством между средним геометрическим и средним арифметическим
$a+b+c=1/2a+1/2b+1/2a+1/2c+1/2b+1/2c \ge 2\sqrt{1/4ab}+2\sqrt{1/4bc}+2\sqrt{1/4ac}=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$

Пользуясь леммой, имеем

$\frac {a^8+b^8+c^8} {a^3b^3c^3}\ge \frac {a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4} {a^3b^3c^3} \ge \frac {a^2b^2c^4+a^2b^4c^2+a^4b^2c^2} {a^3b^3c^3}=\frac {b^2+c^2+a^2} {abc}\ge \frac {bc+ac+ab} {abc}=\frac {1} {a}+\frac {1} {b}+\frac {1} {c}$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 19 авг 2007, 03:09

3.

$S=S_{ABD}+S_{BCD}$
Поскольку 4х угольник вписан в окружность то сумма противоположных углов равна 180
По теореме косинусов из 2х треугольников имеем
$BD^2=a^2+b^2-2abcos(\alpha)=c^2+d^2+2cdcos(\alpha)$ откуда
$cos(\alpha)=\frac {a^2+b^2-c^2-d^2} {2(ab+cd)}$
Тогда
$S=\frac {1} {2}(ab+cd)sin(\alpha)$ , где
$\alpha = arccos \frac {a^2+b^2-c^2-d^2} {2(ab+cd)}$

4.
$a_n=2a_{n-1}+3=2(2a_{n-2}+3)+3=...=2^na_0+3(1+2+2^2+...2^n)=2^n(a_0+3)-3$
Рассмотрим частичную сумму ряда

$S_n=\sum_{i=0}^{n}{(a_0+3)(\frac {2} {5})^i}-\sum_{i=0}^{n}{3(\frac {1} {5})^i}$

$S=\lim_{n\right \infty}{S_n}=\lim_{n\right \infty}({\sum_{i=0}^{n}{(a_0+3)(\frac {2} {5})^i}-\sum_{i=0}^{n}{3(\frac {1} {5})^i}})=\lim_{n\right \infty}({\sum_{i=0}^{n}{(a_0+3)(\frac {2} {5})^i})-\lim_{n\right \infty}(\sum_{i=0}^{n}{3(\frac {1} {5})^i}})=\frac {a_0+3} {1-2/5}-3\frac {1} {1-1/5}=\frac {20a_0+15} {12}$
(переход от предела разности к разности пределам законный поскольку каждый из пределов по отдельности существует)

Физика
2.
Найдем вначале отношение масс шариков. Пусть $$m_1$$

и

- массы левого и правого шариков. По закону сохранения энергии в момент столкновения шаров $\frac {m_1v_1^2} {2}=m_1ghl(1-cos(\alpha))$ , откуда $v_1=\sqrt{2ql(1-cos(\alpha)}$ , аналогично для второго шарика $v_2=\sqrt{2ql(1-cos(\beta)}$ . По закону сохранения импульса в момент соударения $$m_1v_1=m_2v_2$$

, откуда
$m_1/m_2=v_2/v_1=\sqrt{\frac {1-cos(\beta)} {1-cos(\alpha)}}$
Пусть потенциальная энергия первого шара
$E_{p1}$ , масса m
потенциальная энергия второго шара
$E_{p2}$ , масса M. $\gamma$ -угол на который отклонится 1 шар после третьего удара. $$E_1, E_2, E_3$$

- полная энергия шара, соответствующая состояниям системы.
$E_{p1}=mgl(1-cos\alpha)$ ;
$E_{p2}=Mgl(1-cos\beta)$ ;
$\Delta E_p=Mgl(1-cos\beta)-mgl(1-cos\alpha)$ ;
$$E_1=E_2=E_3$$

;
$E_1=\frac {mV_1^2} {2}+mgl(1-cos\alpha)$ ;
$E_2=\frac {MV_2^2} {2}+Mgl(1-cos\beta)+\Delta E_p$ ;
$E_3=\frac {mV_3^2} {2}+mgl(1-cos\gamma)+2\Delta E_p$ ;
$$mV_1=MV_2=mV_3$$

;
$\gamma=arccos(3(1-cos\alpha)-2\frac {M} {m}(1-cos\beta))$ , где
$M/m=v_1/v_2=\sqrt{\frac {1-cos(\alpha)} {1-cos(\beta)}}$ .

4. обозначим:
$P_0=10^{-2}$ Па,
$$T_0=293 K$$

.

-молекулярная масса воздуха,
$$T_1 =90=373 K$$

,

$\nu$ -средняя квадратичная скорость молекул.
$Q=cm_{vodi}\Delta T$ ;
$\frac {P_0} {T_0}=\frac {P_1} {T_1}$ ,
$P_1=\frac {P_0 T_1} {T_0}$ ,
$\frac {P_1} {T_1}=\frac {P_2} {T_2}$ ,
$P_2=\frac {P_0 T_2} {T_0}$ ,
$F_1=\frac {P_1} {S},\\F_1=\frac {P_0T_1} {T_0S}\\F_2=\frac {P_2} {S}=\frac {P_0T_2} {T_0S}$ ,
$\Delta A=\Delta Nt,\\N=F\nu$ ,
$N_1=F_1\nu_1$ ,
$N_2=F_2\nu_2$ ,
$\nu_1=\sqrt{\frac {3RT_1} {M}}$ ,
$\nu_2=\sqrt{\frac {3RT_2} {M}}$ ,
$\Delta A=\Delta Nt=(N_2-N_1)t=\frac {P_0t(T_2^{\frac {3} {2}}-T_1^{\frac {3} {2}})} {T_0S} \sqrt{\frac {3R} {M}}$ ,
$Q=\Delta A$ ,
$t=\frac {cm_{vodi}(\sqrt{T_2}+\sqrt{T_1})T_0S} {(T_2+T_1) P_0} \sqrt{\frac {M} {3R}$ ,
$$t=$$

4,9 суток

Про задачи №1 и №3 физика мы скромно промолчим

Soul · Сообщение **Soul** » 21 авг 2007, 01:22

M	Прошу авторов задач выложить свои решения

A	Прошу авторов задач выложить свои решения

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 21 авг 2007, 18:15

Soul писал(а):Source of the post
№2 Доказать, что если

то имеет место неравенство
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\leq\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}$

Так как

, то доказываемое неравенство можно переписать в виде
(1) $a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2(ab+ac+bc)$
поделив обе части (1) на $$a^2b^2c^2$$

, получим
(2) $\frac {a^6} {b^2c^2}+\frac {b^6} {a^2c^2}+\frac {c^6} {a^2b^2}\ge ab+ac+bc$
Итак, нам достаточно доказать неравенство (2).
Имеем очевидные неравенства:
(3) $\{\frac {a^6} {b^2c^2}+\frac {b^6} {a^2c^2}=(\frac {a^3} {bc})^2+(\frac {b^3} {ac})^2\ge 2*\frac {a^3} {bc}*\frac {b^3} {ac}=2*\frac {a^2b^2} {c^2}\\\frac {a^6} {b^2c^2}+\frac {c^6} {a^2b^2}=(\frac {a^3} {bc})^2+(\frac {c^3} {ab})^2\ge 2\frac {a^2c^2} {b^2}\\\frac {b^6} {a^2c^2}+\frac {c^6} {a^2b^2}\ge 2\frac {b^2c^2} {a^2}$
Сложив почленно (3) и сократив на 2, получим:
(4) $\frac {a^6} {b^2c^2}+\frac {b^6} {a^2c^2}+\frac {c^6} {a^2b^2}\ge \frac {a^2b^2} {c^2}+\frac {a^2c^2} {b^2}+\frac {b^2c^2} {a^2}$
Далее, имеем:
(5) $\{\frac {a^2b^2} {c^2}+\frac {a^2c^2} {b^2}\ge 2\frac {a^2bc} {bc}=2a^2\\\frac {a^2b^2} {c^2}+\frac {b^2c^2} {a^2}\ge 2b^2\\\frac {b^2c^2} {a^2}+\frac {a^2c^2} {b^2}\ge 2c^2$
Сложив почленно (5) и сократив на 2, получим:
$\frac {a^2b^2} {c^2}+\frac {a^2c^2} {b^2}+\frac {b^2c^2} {a^2}\ge a^2+b^2+c^2$
Из (4) и следует, что
(7) $\frac {a^6} {b^2c^2}+\frac {b^6} {a^2c^2}+\frac {c^6} {a^2b^2}>a^2+b^2+c^2$
Ho так как $a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$ , то
$\frac {a^6} {b^2c^2}+\frac {b^6} {a^2c^2}+\frac {c^6} {a^2b^2}\ge ab+ac+bc$
или
$\frac {a^8} {a^2b^2c^2}+\frac {b^8} {a^2b^2c^2}+\frac {c^8} {a^2b^2c^2}\ge ab+ac+bc$
и потому
$a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2(ab+ac+bc)$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 21 авг 2007, 18:38

Soul писал(а):Source of the post
Математика:
№3 Найти площадь вписанного в круг четырёхугольника, стороны которого равны

Пусть

- это стороны четырёхугольника, вписанного в окружность. Проведём диагональ $$AC$$

и обазначим через $$S$$

площадь четырёхугольника. Тогда
(1) $S=\frac {1} {2}a*b*\sin B+\frac {1} {2}c*d*\sin D\\S=\frac {1} {2}(a*b+c*d)*\sin B$
так как $\sin D=\sin B$
Далее,
$AC^2=a^2+b^2-2ab*\cos B\\AC^2=c^2+d^2+2cd*\cos B$
так как $\cos D=-\cos B$
Поэтому
$a^2+b^2-2ab*\cos B=c^2+d^2+2cd*\cos B\\\cos B=\frac {a^2+b^2-c^2-d^2} {2(ab+cd)}$
Далее
$\sin ^2B=1-\cos^2 B=1-\frac {(a^2+b^2-c^2-d^2)^2} {4(ab+cd)^2}=\\=\frac {4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2} {4(ab+cd)^2}=\\=\frac {[(a+b)^2-(c-d)^2][(c+d)^2-(a-b)^2]} {4(ab+cd)^2}=\\=\frac {(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)} {4(ab+cd)^2}$
Пусть $$a+b+c+d=p$$

- периметр $$ABCD$$

; тогда
(2) $\sin B=\frac {2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}} {ab+cd}$
Из (1) и (2) следует:
$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 21 авг 2007, 20:46

Я предложил две задачи.
Задача № 4 math решена верно. C задачей № 1 phys не было никаких идей (оказалась самой сложной). Решается так: надо для простоты рассмотреть ракету, зависшую на какой-то высоте (чистый случай потери энергии топлива неизвестно куда).

Энергия топлива (c учетом КПД, т.e. преобразование тепловой энергии в механическую) расходуется на ускорение Земли (как планеты в целом) в направлении движения движения ракеты (или в направлении оси двигателя). B ракете сила, c которой дв-ль на нее действует, уравновешена силой гравитации. Согласно 3-му з-ну Ньютона такая же по величине сила действует на Землю. Эта сила ничем не уравновешена. Именно эта сила производит работу.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 22 авг 2007, 14:51

Soul писал(а):Source of the post
Физика:
№2 Два шарика подвешаны рядом на нитях равной длины. Левый шарик отклонили на угол $\alpha$ и отпустили. После соударения шаров левый останавливается, a правый отклоняется на угол $\beta$ . Ha какой угол отклониться левый шар после второго соударения? Считать, что при каждом соударении переходит в тепло одна и та же доля потенциальной энергии дефомации шаров.

Обозначим через $$l$$

длину каждой из нитей, через $$M$$

массу левого и через $$m$$

массу правого шара. B начальный момент левый шар находится на высоте
$h=l(1-\cos \alpha)$
от нижней точки (см. рисунок). Из закона сохранения энергии следует, что скорость $$v$$

левого шара в момент столкновения такова, что
$\frac {Mv^2} {2}=Mgl(1-\cos \alpha)$
откуда
(1) $v=\sqrt{2gl(1-\cos \alpha)}$
Так как второй шар после столкновения поднялся на высоту
$h_1=l(1-\cos \beta)$
то он имел скорость
(2) $u=\sqrt{2gl(1-\cos \beta)}$
Ho при столкновении шаров их суммарный импульс сохраняется. Поэтому
$M\sqrt{2gl(1-\cos \alpha)}=m\sqrt{2gl(1-\cos \beta)}$
откуда
(3) $\frac {M} {m}=\sqrt{\frac {1-\cos \beta} {1-\cos \alpha}}$
Обазначим через $$W$$

механическую энергию, теряемую при первом столкновении. Тогда
(4) $Mgl(1-\cos \alpha)=mgl(1-\cos \beta)+W$
Пусть отношение энергии $$W$$

к максимальной потенциальной энергии $$W_p$$

деформации шаров равно $$k$$

. Так как в тот момент, когда деформация шаров максимальна, оба шара движутся как одно целое co скоростью $$v_0$$

, то

откуда
$v_0=\frac {M} {M+m}v$
Из закона сохранения энергии следует, что
$\frac {Mv^2} {2}=\frac {(M+m)v_0^2} {2}+W_p$
откуда
$W_p=\frac {m} {M+m}\frac {Mv^2} {2}$
так как
$\frac {Mv^2} {2}=Mgl(1-\cos \alpha)$
тогда
$W_p=\frac {Mm} {M+m}gl(1-\cos \alpha)$
или
(5) $W=k\frac {Mm} {M+m}gl(1-\cos \alpha)$
Подставив это выражение в (4), получим:
$$(4^`)$$

$M(1-\cos \alpha)=m(1-\cos \beta)+k\frac {Mm} {M+m}(1-\cos \alpha)$
Обазначим через $\gamma$ угол отклонения левого, a через $\theta$ угол отклонения правого шара после второго столкновения. Рассуждая так же, как при выводе равенства $$(4^`)$$

, получим:
$m(1-\cos \beta)=M(1-\cos\gamma)+m(1-\cos \theta)+k\frac {Mm} {M+m}*(1-\cos \gamma)$
C другой стороны, из условия сохранения импульса при втором столкновении имеем:
(7) $m\sqrt{2gl(1-\cos \beta)}=M\sqrt{2gl(1-\cos \gamma)}+m\sqrt{2gl(1-\cos \theta)}$
Из уравнений (3), $$(4^`)$$

, (6), (7) находим:
$\gamma=\beta$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 22 авг 2007, 15:10

Soul писал(а):Source of the post
Физика:
№3 Громкоговоритель имеет диффузор c лобовой площадью и массой г. Резонансная частота диффузора $\nu_0=50$ Гц. Какой окажется его резонансная частота, если поместить громкоговоритель на стенке закрытого ящика объёма л, как показано на рисунке. Расчёт вести в предположении, что температура воздуха внутри ящика не изменяется при колебании диффузора.

Диффузор представляет собой пружинный маятник, и его резонансная циклическая частота равна
(1) $w_0=\sqrt{\frac {k_0} {m}}$
где $$k_0$$

- жёсткость упругой силы диффузора. Отсюда
(2) $$k_0=w_0^2m$$

Когда громкоговоритель помещают в ящик, то при смещении диффузора от положения равновесия на него действует дополнительная сила
(3) $$F=(p-p_0)S$$

где

- давление воздуха в ящике, a $$p_0$$

- атмосферное давление вне ящика. Так как температура воздуха в ящике не меняется, то по закону Бойдя - Мариотта
$$pV=p_0V_0$$

или
$p=\frac {p_0V_0} {V}$
Подставляя это выражение в формулу (3), получаем:
(4) $F=p_0S\frac {V_0-V} {V}$
Так как
$$V_0-V=Sx$$

где

- смещение диффузора, то
(5) $F=\frac {p_0S^2} {V_0}x$
(ввиду того что изменение объёма мало, принимаем в знаменателе $$V=V_0$$

) Из этой формулы следует, что воздух в ящике действует подобно пружине c жёсткостью
$k_1=\frac {p_0S^2} {V_0}$
Общая жёсткость упругой системы равна
$k=k_0+k_1=w_0^2m+\frac {p_0S^2} {V_0}$
a резонансная частота $\nu$ диффузора -
$\nu =\frac {1} {2\p }\sqrt{\frac {k} {m}}=\sqrt{v_0^2+\frac {p_0S^2} {4\p ^2V_0m}}\approx 115$ Гц

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 22 авг 2007, 15:38

Soul писал(а):Source of the post
Физика:
№4 Пространство между стенками колбы термоса откачано до давления $p=10^{-2}$ Па при комнатной температуре . Оценить время, в течение которого чай в термосе остынет c до . Площадь поверхности колбы . Ёмкость термоса 1 л. Удельная теплоёмкость воды Дж/(кг*K); универсальная газовая постоянная Дж/(моль*K). Утечку тепла через пробку не учитывать.

Обазначим через $$T_1$$

температуру чая и через $$T_2$$

температуру в комнате. Сталкиваясь c тёплой стенкой, молекулы воздуха в колбе приобретают кинетическую энергию (Конечно, следовало бы учитывать все степени свободы молекулы, но для оценки это не существенно)
$E_1=\frac {3} {2}kT_1$
После столкновения c холодной стенкой кинетическая энергия молекул становится равной
$E_2=\frac {3} {2}kT_2$
Таким образом, молекулой переносится энергия
$\Delta E=E_1-E_2=\frac {3} {2}k(T_1-T_2)$
Число столкновений молекул co стенками площадью $$S$$

за время $\Delta t$ равно
(1) $Z=\frac {1} {2}n|v_x|S\Delta t$
где $$n$$

- концентрация молекул и
$$v_x$$

- среднее значение модуля проекции скорости молекулы на ось иксов, перпендикулярную стенке. Для оценки можно принять, что
$$3|v_x|^2=v^2$$

или
$|v_x|=\frac {1} {\sqrt{3}}v$
Среднеквадратичная скорость $$v$$

определяется формулой
$v=\sqrt{\frac {3RT} {M}}$
где $$M$$

- молярная масса газа и
$$T$$

- средняя температура в колбе.
Так как значения $$T_1$$

и

близки

, то можно принять:
$T=\frac {1} {2}(T_1+T_2)$
Из основного уравнения кинетической теории газов
$$p=nkT$$

выражаем концентрацию молекул:
$n=\frac {p} {kT}$
Теперь можно формулу (1) переписать в следующем виде:
$Z=\frac {1} {2}\frac {p} {kT}\sqrt{\frac {kT} {M}}S*\Delta t$
Это означает, что за время $\Delta t$ переносится энергия
(2) $W=Z*\Delta E=\frac {3} {2}p\frac {T_1-T_2} {T_1+T_2}*\sqrt{\frac {R(T_1+T_2)} {2M}}S*\Delta t$
Для того чтобы 1 кг чая в термосе остыл от температуры $$T_1=363 K$$

до температуры
$$T_1^`=243 K$$

, должна быть перенесена энергия
$$W=mc(T_1-T_1^`)$$

Посдставляя это выражение для $$W$$

в формулу (2), найдём необходимое для отстывания чая время $\Delta t$
$\Delta t=\frac {2mc(T_1-T_1^`)(T_1+T_2)} {3p(T_1-T_2)S}*\sqrt{\frac {2M} {R(T_1+T_2)}}\approx 1,7*10^4\approx 5$ ч.

yourdomain.com