Что такое поле?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 08 авг 2013, 21:41

Пожалуйста, а можно подробнее, сразу так не соображу. Там - это у Борисенко ? Если да, то какие пространства имеются ввиду?

zykov · Сообщение **zykov** » 09 авг 2013, 00:48

Рубен писал(а):Source of the post
Пожалуйста, а можно подробнее, сразу так не соображу. Там - это у Борисенко ? Если да, то какие пространства имеются ввиду?

Wild Bill уже ответил, что для ортонормированного евклидова пространства не различают ковариантность и контравариантность. Книжку не смотрел, но подозреваю, что кроме трёхмерного ортонормированного евклидова пространства других там не встречается.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 09 авг 2013, 06:53

zykov писал(а):Source of the post
Рубен писал(а):Source of the post
Пожалуйста, а можно подробнее, сразу так не соображу. Там - это у Борисенко ? Если да, то какие пространства имеются ввиду?

Wild Bill уже ответил, что для ортонормированного евклидова пространства не различают ковариантность и контравариантность. Книжку не смотрел, но подозреваю, что кроме трёхмерного ортонормированного евклидова пространства других там не встречается.

Да, это я знаю. Косоугольные базисы там встречаются вначале, до тензоров. О них я спрашивал еще тут. Правда, когда только дают понятие тензора, действительно, вводят СК с ортогональным (не ортонормированным) базисом, и в таком базисе ко- и контравариантные компоненты векторов совпадают. Но ведь ДПСК дело не ограничивается. Дальше рассматриваются и другие СК. Посмотрите:

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 09 авг 2013, 08:59

Рубен писал(а):Source of the post Дальше рассматриваются и другие СК.

В пункте 2.9 пятый абзац сверху, а далее и шестой абзац, где вводится понятие смешанного тензора... Здесь и нужно было бы дать более полное определение ранга “ $$n$$

раз контравариантный и $$m$$

раз ковариантный”, но, видимо, такое уточнение не нужно для дальнейшего изложения, так как криволинейные координаты далее, скорее всего, не используются.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 09 авг 2013, 09:10

Да, я так и понял, что в том параграфе можно было дать, но не дали. Дальше я не смотрел. Спасибо (и Андрею спасибо).

balans · Сообщение **balans** » 09 авг 2013, 09:17

Wild Bill писал(а):Source of the post
В математике обычно рассматривают тензор как тензорное произведение нескольких векторных пространств (ВП) и нескольких сопряжённых пространств (СП),

ВП и СП взаимосвязаны между собой тензором, и выражаются в ко- и контравариантном компонентах соответственно?

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 09 авг 2013, 11:23

Если на линейном пр-ве $\mathcal{V}$ рассмотреть линейное отображение вектора в некоторое поле чисел, например, $\mathbb{R}$ , то такое отображение называется линейным функционалом $\boldsymbol{\xi}:\mathcal{V}\rightarrow \mathbb{R}$ . Эти линейные ф-алы на $\mathcal{V}$ также называются ковекторами. Они сами образуют линейное пр-во, которое обозначается $T_1(\mathcal{V})$ или $\mathcal{V}'$ и называется сопряжённым пр-вом.
Пусть $\{\vec{e}_i\}$ --- базис в $\mathcal{V}$ , тогда значение произвольного линейного ф-ала $\boldsymbol{\xi}$ на векторе
$\displaystyle \vec{x}=x^1 \vec{e}_1 + \cdots + x^n \vec{e}_n$
определяется формулой
$\displaystyle \boldsymbol{\xi}(\vec{x})=x^1 \xi_1 + \cdots + x^n \xi_n$ ,
где $\xi_i=\boldsymbol{\xi}(\vec{e}_i)$ .
И, что интересно, $\mathcal{V}=(\mathcal{V}')'$ .
Где-то так... Отсюда можно увидеть, что в скалярном произведении участвуют не два вектора, а вектор и ковектор.

balans · Сообщение **balans** » 09 авг 2013, 12:55

Wild Bill писал(а):Source of the post
Если на линейном пр-ве $\mathcal{V}$ рассмотреть линейное отображение вектора в некоторое поле чисел, например, $\mathbb{R}$ , то такое отображение называется линейным функционалом $\boldsymbol{\xi}:\mathcal{V}\rightarrow \mathbb{R}$ . Эти линейные ф-алы на $\mathcal{V}$ также называются ковекторами. Они сами образуют линейное пр-во, которое обозначается $T_1(\mathcal{V})$ или $\mathcal{V}'$ и называется сопряжённым пр-вом.
Пусть $\{\vec{e}_i\}$ --- базис в $\mathcal{V}$ , тогда значение произвольного линейного ф-ала $\boldsymbol{\xi}$ на векторе
$\displaystyle \vec{x}=x^1 \vec{e}_1 + \cdots + x^n \vec{e}_n$
определяется формулой
$\displaystyle \boldsymbol{\xi}(\vec{x})=x^1 \xi_1 + \cdots + x^n \xi_n$ ,
где $\xi_i=\boldsymbol{\xi}(\vec{e}_i)$ .

Пусть существует вектор $x \in \mathcal{V}$ и еще один вектор (ковектор?) $h \in \mathcal{V}'$ , тогда скалярное их произведение дает линейную форму $(x,h) =\xi(x) \in \mathbb{R}$ . То есть $h \in \mathcal{V}'$ и является функционалом.

Wild Bill писал(а):Source of the post
И, что интересно, $\mathcal{V}=(\mathcal{V}')'$ .

Как в комплексном исчислении: двойное сопряжение типа анулируется. Если предположить, что $\mathcal{V}=\mathcal{V}'$ , то получается вроде как самосопряженного пространства (наше евклидовое, например)

Wild Bill писал(а):Source of the post
Где-то так... Отсюда можно увидеть, что в скалярном произведении участвуют не два вектора, а вектор и ковектор.

Я так понял, что система векторов пространства $\mathcal{V}$ как и ковекторов в пространстве $\mathcal{V}'$ не являются ортонормированными внутри споих пространств, но взаимодействуют между собой (скалярное произведение) так словно из одного плоского пространства .

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 09 авг 2013, 14:07

balans писал(а):Source of the post Пусть существует вектор $x \in \mathcal{V}$ и еще один вектор (ковектор?) $h \in \mathcal{V}'$ , тогда скалярное их произведение дает линейную форму $(x,h) =\xi(x) \in \mathbb{R}$ . То есть $h \in \mathcal{V}'$ и является функционалом.

Да, $h \in \mathcal{V}'$ есть ковектор или функционал, который действует на вектор $x \in \mathcal{V}$ . Скалярное произведение определяется несколько более строго через билинейные функционалы вида
$\mathbf{B}(\vec{x},\vec{y}) = b_{ij}x^i y^j$ , но это большой роли не играет.

balans писал(а):Source of the post Как в комплексном исчислении: двойное сопряжение типа анулируется. Если предположить, что $\mathcal{V}=\mathcal{V}'$ , то получается вроде как самосопряженного пространства (наше евклидовое, например)

Да, некоторая аналогия есть.

balans писал(а):Source of the post Я так понял, что система векторов пространства $\mathcal{V}$ как и ковекторов в пространстве $\mathcal{V}'$ не являются ортонормированными внутри споих пространств, но взаимодействуют между собой (скалярное произведение) так словно из одного плоского пространства .

Так и есть, вспомним физику. В СТО скалярное произведение двух векторов есть
$$A^iB_i=A^0B_0+A^1B_1+A^2B_2+A^3B_3$$

хотя метрика не евклидова, а псевдоевклидова.

kiv · Сообщение **kiv** » 09 авг 2013, 15:56

И все-таки, поля - они разные бывают...

Идет ментовский патруль, смотрят - лежит парень студенческого возраста в полной отключке, перегар на гектар, в руке пузырь и книга. Один патрульный - другому: и откуда мол, такой поддатый? Тот наклоняется, по складам читает название книги "Теория поля" - и отвечает - ну, судя по книге, из сельхозакадемии...

yourdomain.com