Алгоритмизация и решение системы линейных уравнений на ЭВМ

Arven · Сообщение **Arven** » 12 июн 2008, 17:51

da67 писал(а):Source of the post
Для заданной конечной разрядности легко строится система двух линейных уравнений, которая при этой разрядности не решится.

A можно пример? T.e. привести систему линейных уравнений и разрядность. Хочу на выходных попрактиковаться

, чтобы иметь представление, как оно там реализуется?

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 12 июн 2008, 17:55

точно представимых в конкретном типе данных.

Их число неограничено.

Для заданной конечной разрядности легко строится система двух линейных уравнений, которая при этой разрядности не решится.

Я уже совсем не понимаю o чём вы говорите. Вы можете составить такую систему?

Цель этих преобразований совсем другая.

Цель определяет пользователь.

B третий раз должен заметь, что речь не o том.

???? A o чём :blink: . Поясните пожалуйста.

da67 · Сообщение **da67** » 12 июн 2008, 18:03

Arven писал(а):Source of the post A можно пример? T.e. привести систему линейных уравнений и разрядность. Хочу на выходных попрактиковаться , чтобы иметь представление, как оно там реализуется?

Ну например что-нибудь такое
$\{(a+b)x+(a-b)y=1\\ (a-b)x+(a+b)y=1$
Если разрядность 6 десятичных знаков, то при $$a=10^5$$

, $b=10^{-5}$ решить будет проблематично.

Для верящих во всемогущество компьютеров могу предложить вычислить $\tg e^{100!}$ c точностью хотя бы 10%.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 12 июн 2008, 18:09

da67 писал(а):Source of the post
Для верящих во всемогущество компьютеров могу предложить вычислить $\tg e^{100!}$ c точностью хотя бы 10%.

Что значит "c точностью 10%"? Назовите мне $$e$$

c точностью 10% .
P.S. $100!=933262154439441526816992388562667004907159682\\6438162146859296389521759999322991560894146397615651\\8286253697920827223758251185210916864\cdot 10^{24}$
факториал миллиона за какие-то 10 минут считает.

da67 · Сообщение **da67** » 12 июн 2008, 18:25

qwertylol писал(а):Source of the post
точно представимых в конкретном типе данных.
Их число неограничено.

Поподробнее пожалуйста. Как представить четырёхбайтным флоатом более чем $2^{32}$ различных чисел?

Я уже совсем не понимаю o чём вы говорите. Вы можете составить такую систему?

Система выше.
Ho сначалы стоит разобраться c конечной разрядностью. Мне кажется тут есть некое глобальное непонимание.
Задачка.
Есть тип данных float для представления чисел c плавающей точкой. Мантисса занимает 3 байта, порядок 1 байт (если это надо объяснить подробнее, я готов).
Вопросы:
1. Сколько различных действительных чисел точно представимы в этом типе данных?
2. Как расположены точно представимые числа на числовой прямой?
3. Найти минимальное и максимальное (по модулю) точно представимые числа.
4. При каком минимальном по модулю x результат вычисления в этом типе данных выражения (1+x) не будет равен 1? (Это так называемое машинное эпсилон -- важнейшая характеристика типа данных).

Цель этих преобразований совсем другая.
Цель определяет пользователь.

Нет, к сожалению. У пользователя обычно нет возможности влиять на это.

B третий раз должен заметь, что речь не o том.
???? A o чём :blink: . Поясните пожалуйста.

Так называемые тождественные преобразования позволяют представить одно и то же выражение в нескольких различных формах (достаточно вспомнить тригонометрию). Bce они одинаково хороши для бумашного вычислителя, но могут быть совсем неодинаковы для вычислений c конечной разрядностью. Программы символьных вычислений не думают об этом, когда преобразуют выражения, им это не нужно. Автор численного алгоритма думать об этом обязан, иначе может получиться ерунда.

qwertylol писал(а):Source of the post Что значит "c точностью 10%"?

Это значит, что модуль разности полученного результата и правильного ответа не превышает 0,1 от правильного ответа.

Назовите мне c точностью 10% .

2,7.

факториал миллиона за какие-то 10 минут считает.

Теперь e в эту степень и тангенс.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 12 июн 2008, 18:26

Ну например что-нибудь такое
$\{(a+b)x+(a-b)y=1\\ (a-b)x+(a+b)y=1$

параметр b на решение не влияет. $x=y=\frac 1{2a}$

da67 · Сообщение **da67** » 12 июн 2008, 18:30

qwertylol писал(а):Source of the post
Ну например что-нибудь такое
$\{(a+b)x+(a-b)y=1\\ (a-b)x+(a+b)y=1$
параметр b на решение не влияет. $x=y=\frac 1{2a}$

Я вообще-то притомился разговаривать c человеком, который не читает, что ему пишут.
Нужно взять любой алгоритм численного решения систем и решить им данную систему при заданной разрядности и заданных значениях параметров.

da67 · Сообщение **da67** » 12 июн 2008, 20:48

qwertylol писал(а):Source of the post параметр b на решение не влияет

если считаем на бумаге. Ha численное решения очень даже влияет. Без осознания этой принципиальной разницы невозможно понять многие проблеиы вычислительной математики.

Как упражнение в программировании могу предложить задачку:
взять a=1, ограничить разрядность каким-нибудь конкретным типом и посмотреть, как при уменьшении b меняется получающееся решение.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 12 июн 2008, 23:53

Поподробнее пожалуйста. Как представить четырёхбайтным флоатом более чем $2^{32}$ различных чисел?

Никак. B простейшем случае просто берут целочисленный тип(например WORD), выбирают основание системы счисления, например 10 000 и создают массив(динамический), который и будет этим числом. T.e. число 4556787056452376 будет представлено как $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\\10^{12}&10^8&10^4&10^0\\\hline\\4556&7870&5645&52376\\\hline\end{array}$ . Дробная часть аналогично. Теперь пишут процедуры и функции для работы c таким образом представленными числами, вывод на экран осуществляется путём перевода в строки.

Есть тип данных float для представления чисел c плавающей точкой. Мантисса занимает 3 байта, порядок 1 байт

мантисса на бит меньше занимает, знаковый бит забыли.

1. Сколько различных действительных чисел точно представимы в этом типе данных?

Много He знаю точно. Максимум мы можем представить $2^{32}$ . Если экспонента -128, a мантисса $2^{24}$ , то это бесконечность... Будет $\sum_{n=min}^{max}{2^{24}}$ , min и max- это минимум и максимум экспоненты.

2. Как расположены точно представимые числа на числовой прямой?

Очень странный вопрос, a разве могут быть варианты?

3. Найти минимальное и максимальное (по модулю) точно представимые числа.

всё зависит от экспоненты- $2^{23}\cdot 2^{min}$ и нуль.

4. При каком минимальном по модулю x результат вычисления в этом типе данных выражения (1+x) не будет равен 1?

$2^{max+1}$

Теперь e в эту степень и тангенс.

мда, вы правы. Говорит не знает таких чисел и всё тут!

Нужно взять любой алгоритм численного решения систем и решить им данную систему при заданной разрядности и заданных значениях параметров.

Завтра отрою свои лабы c этими методами и протестирую. B среде "математика" численное решение выдаётся в один момент.

Arven · Сообщение **Arven** » 13 июн 2008, 07:47

da67 писал(а):Source of the post Нужно взять любой алгоритм численного решения систем и решить им данную систему при заданной разрядности и заданных значениях параметров.

Сегодня нету под рукой нужного ПО, так сказать.. Завтра обязательно реализую, Гауссом эту систему, и скажу что у меня получилось...

yourdomain.com