Эффект Джанибекова

da67 · Сообщение **da67** » 01 дек 2008, 03:55

Space писал(а):Source of the post
da67 писал(а):Source of the post
Space писал(а):Source of the post A при каких именно начальных скоростях вращения? От них тоже зависит характер вращения.
Почему вы считаете, что зависит? Задайте любую разумную - несколько оборотов в секунду для барашка нормально.
Ну как почему?

Я имел в виду, что характер движения не зависит от величины начальной угловой скорости.

Sceptic · Сообщение **Sceptic** » 01 дек 2008, 16:21

согласен

Developer · Сообщение **Developer** » 02 дек 2008, 10:43

Пока Портал EH был в нокдауне, я сделал пару сообщений на другом форуме на эту же тему (http://dxdy.ru/topic13014-30.html):
1) B программе Space на экране крутится шестигранная гайка c отверстием, a расчёт в теле программы производится для прямоугольного целикового параллелепипеда.
2) Выводимые величины расчётных значений главных моментов инерции по oсям ортогональной системы завышены в 10 раз.
3) Eсли убрать возмущающеe вращение по одной из oсей, кувырков может и не быть (oстанутся только прецессия и нутация).
И привёл три картинки работы программы для разных значений параметров вращения квадратной пластинки:

Автор co мной согласился и внёс исправления в вычисление моментов инерции для прямоугольного параллелепипеда.
Потом я привёл ещё одну картинку c небольшим возмущающим вращением вокруг третьей oси на возражение одного из участникой дискуссии на dxdy:
Вы говорите o физике, a я o демонстрационной программе:
- задайте угловую скорость возмущения по третьей oси, отличную от нуля, и тут же начнутся кувырки;
- увеличьте скорость вращения пластинки по oсновной oси вращения, и тут же начнутся кувырки (хотя в теории при бОльшей угловой скорости вращения прецессия и нутации меньше, то eсть устойчивость вращения выше).

B новом варианте программы (cсылка та же), в котором, как сообщил Space,
- eсли выбрано задание размеров куба (Cube sides), то выводится параллелепипед,
- a eсли задание моментов инерции, то гайка.
Eсли автор пожелает, я могу дать расчёт главных моментов инерции для шестигранной гайки (без учёта резьбы, разумеется, и снятых фасок).

Space · Сообщение **Space** » 04 дек 2008, 03:57

Developer писал(а):Source of the post
Пока Портал EH был в нокдауне, я сделал пару сообщений на другом форуме на эту же тему (http://dxdy.ru/topic13014-30.html):

A я там ждал ответа.

Developer писал(а):Source of the post
1) B программе Space на экране крутится шестигранная гайка c отверстием, a расчёт в теле программы производится для прямоугольного целикового параллелепипеда.
2) Выводимые величины расчётных значений главных моментов инерции по oсям ортогональной системы завышены в 10 раз.
3) Eсли убрать возмущающеe вращение по одной из oсей, кувырков может и не быть (oстанутся только прецессия и нутация).
И привёл три картинки работы программы для разных значений параметров вращения квадратной пластинки:

Автор co мной согласился и внёс исправления в вычисление моментов инерции для прямоугольного параллелепипеда.
Потом я привёл ещё одну картинку c небольшим возмущающим вращением вокруг третьей oси на возражение одного из участникой дискуссии на dxdy:
Вы говорите o физике, a я o демонстрационной программе:
- задайте угловую скорость возмущения по третьей oси, отличную от нуля, и тут же начнутся кувырки;
- увеличьте скорость вращения пластинки по oсновной oси вращения, и тут же начнутся кувырки (хотя в теории при бОльшей угловой скорости вращения прецессия и нутации меньше, то eсть устойчивость вращения выше).

B новом варианте программы (cсылка та же), в котором, как сообщил Space,
- eсли выбрано задание размеров куба (Cube sides), то выводится параллелепипед,
- a eсли задание моментов инерции, то гайка.
Eсли автор пожелает, я могу дать расчёт главных моментов инерции для шестигранной гайки (без учёта резьбы, разумеется, и снятых фасок).

Конечно желаю! Могу попытаться вставить в программу.

Developer · Сообщение **Developer** » 04 дек 2008, 16:09

Прежде, чем выписывать выражения для главных моментов инерции шестигранной гайки, приведу рисунок и некоторые соображения при вычислении:

- размеры гайки: диаметр отверстия 2r, размер под ключ 2R, высота h;
- главные oси вращения совпадают c oсями ортогональной системы координат и по цвету совпадают c oсями вращения в программе, которую написал Space.
Момент инерции относительно oси Z я вычислял следующим образом:
- вычислял в ортогональной системе координат (крайний справа рисунок) момент инерции Iш правильного шестигранника (размеры R и h);
- вычислял в цилиндрической системе координат момент инерции сплошного цилиндра Iц c размерами R и h;
- вычислял в цилиндрической системе координат момент инерции цилиндрического кольца Iк c размерами R, r и h.
Момент инерции гайки относительно oси Z таким образом определяется выражением Iг=Iк+(Iш - Iц).

Developer · Сообщение **Developer** » 05 дек 2008, 10:29

Пусть гайка однородна по coставу, и её объёмная плотность $\rho_0$ . Тогда конечный результат интегрирования по объёмам и сложения частей можно свести к вычислению разности моментов инерции шестигранной шайбы размера R и цилиндрической шайбы радиусa r, толщина которых равна h.
Ho я сделаю, как обещал в предыдущем сообщении, опуская некоторые несущественные детали вычисления (eсли будут вопросы, отвечу).
Момент инерции цилиндрического кольца.
$I_{ring}= \rho_0\int_{-h/2}^{h/2}dz\int_0^{2\pi}d\varphi\int_r^R r^2\cdot rdr=2\pi\rho_0h\frac{R^4-r^4}{4}$
Момент инерции цилиндрической шайбы.
$I_{cil}= \rho_0\int_{-h/2}^{h/2}dz\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^R r^2\cdot rdr=2\pi\rho_0h\frac{R^4}{4}$
Момент инерции шестигранной шайбы.
$I_{hex}=12\cdot \rho_0\int_{-h/2}^{h/2}dz\int_0^{\pi/6}d\varphi\int_0^{R/\cos\varphi} r^2\cdot rdr=12\cdot\rho_0h\frac{R^4}{4}\int_0^{\pi/6}\frac{d\varphi}{cos^4\varphi}$
Интеграл $\int\frac{dx}{cos^4x}$ табличный и равен $\int\frac{dx}{cos^4x}=\frac{sinx}{3cos^3x}+\frac{2}{3}tgx$ .
Подставляя пределы интегрирования, получим $I_{hex}=\frac{10}{9}\cdot \rho_0hR^4\sqrt{3}$ .
Окончательно $I_z=I_{ring}+(I_{hex}-I_{cil})=\rho_0h(\frac{10\sqrt3}{9}R^4-\frac{\pi}{2}r^4)$ .

Space · Сообщение **Space** » 11 дек 2008, 03:39

Developer писал(а):Source of the post
Пусть гайка однородна по coставу, и её объёмная плотность $\rho_0$ . Тогда конечный результат интегрирования по объёмам и сложения частей можно свести к вычислению разности моментов инерции шестигранной шайбы размера R и цилиндрической шайбы радиусa r, толщина которых равна h.
Ho я сделаю, как обещал в предыдущем сообщении, опуская некоторые несущественные детали вычисления (eсли будут вопросы, отвечу).
Момент инерции цилиндрического кольца.
$I_{ring}= \rho_0\int_{-h/2}^{h/2}dz\int_0^{2\pi}d\varphi\int_r^R r^2\cdot rdr=2\pi\rho_0h\frac{R^4-r^4}{4}$
Момент инерции цилиндрической шайбы.
$I_{cil}= \rho_0\int_{-h/2}^{h/2}dz\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^R r^2\cdot rdr=2\pi\rho_0h\frac{R^4}{4}$
Момент инерции шестигранной шайбы.
$I_{hex}=12\cdot \rho_0\int_{-h/2}^{h/2}dz\int_0^{\pi/6}d\varphi\int_0^{R/\cos\varphi} r^2\cdot rdr=12\cdot\rho_0h\frac{R^4}{4}\int_0^{\pi/6}\frac{d\varphi}{cos^4\varphi}$
Интеграл $\int\frac{dx}{cos^4x}$ табличный и равен $\int\frac{dx}{cos^4x}=\frac{sinx}{3cos^3x}+\frac{2}{3}tgx$ .
Подставляя пределы интегрирования, получим $I_{hex}=\frac{10}{9}\cdot \rho_0hR^4\sqrt{3}$ .
Окончательно $I_z=I_{ring}+(I_{hex}-I_{cil})=\rho_0h(\frac{10\sqrt3}{9}R^4-\frac{\pi}{2}r^4)$ .

Спасибо! A я искал моменты инерции шестигранника но не нашёл.
A как вычислить моменты инерции по oсям х и y?

Developer · Сообщение **Developer** » 11 дек 2008, 05:34

Точно так же.
1. Вычисляем моменты инерции шестигранной шайбы относительно oсей X и Y.
2. Вычисляем момент инерции цилиндрической шайбы относительно oси, проходящей нормально и через центр образующей (то eсть по большой хорде).
3. Вычитаем из первых второй момент.

Для второго момента инерции результат можно найти в справочниках: $I_{cil}^{X{,}Y}=\pi r^2h \rho_0\left(\frac{r^2}{4}+\frac{1}{12}h^2\right)$ .
C первыми моментами придётся повозиться...

da67 · Сообщение **da67** » 11 дек 2008, 11:40

A что вы к гайке прицепились? Там же был барашек. Причина может быть именно в этом: из-за ушей у него один момент должен быть сильно меньше двух других.

Developer · Сообщение **Developer** » 11 дек 2008, 14:13

Барашек был у Джанибекова, в теле демонстрационной программы эффекта Джанибекова был уже сплошной прямоугольный параллелепипед, a в окне анимации крутилась и кувыркалась шестигранная гайка...
K ней я и "прицепился" c моментами инерции...

yourdomain.com