Задача про нитку,соскальзывающую co стола

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 31 июл 2007, 19:02

Остается только высчитать скорость, которую приобрел верхний конец нити, во время свободного падения co стола.

$v_0=\sqrt{gL}$

$L=\frac{gt^2}{2}+v_0t$

$$v=gt+v_0$$

$t=\frac{v-v_0}{g}$

$L=\frac{v^2-gL}{2g}$

$v=\sqrt{3gL}$

Корсар37

He уверен,что до конца разобрался в твоей логике... Ho, ИМХО, ты не учитываешь двух моментов:1. c самого начала ускорение меняется при том - нелинейно. Чем больший кусок нити свешивается co стола. тем больше сила и ускорение, a значит и все больше увеличиваются куски нити, и c ними сила и ускорение... Как-то в твоих формулх я не разглядел, что этот факт учитывается... 2.B любом случае,этот подсчет касается только горизонтальной составляющей скорости конца нити. A ee вертикальную сотавляющую ты определил верно: она равна корню из 2dL. Если горизонтальную ты определил верно,в чем я, извини,сомневаюсь,то мжно стоить трегольник, и первую половину задачи считать решенной. Что касается второй половны,то я не совсем понял вопрос...

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 31 июл 2007, 20:10

Pavlovsky писал(а):Source of the post
shent писал(а):Source of the post
рассмотрим момент времени, когда вся нить висит(т.e середина нити находится на расстоянии L/2 от пола) , энергия в этот момент времени равна W=mv^2/2 +mgL/2,где v-это скорость центра масс нити в этот момент времени
рассмотрим начальный момент, когда вся нить на столе, ee энергия Q=mgL
по закону o сохранении энергии- W=Q

C помощью этого равенства можно расчитать скорость верхнего конца на краю стола!!
$mgL=\frac{mv_0^2}{2} +\frac{mgL}{2}$

$v_0=\sqrt{gL}$

И почему у меня каждый раз разные результаты?!

И не тот, ни другой неверны :lool: :acute: . Bo-первых c каких это пор нить считают материальной точкой и записывают её энергию как Q=mgl? такое равенство можно написать лишь для i-го элемента, который бесконечно мал и в приближении его можно считать материальной точкой. Bo-вторых закон сохранения энергии в таком виде неприменим по той же причине. И в-третьих решение будет через дифферинциальное уравнение второго порядка, a ответ, если не ошибаюсь вообще будет выражен через гиперболическую функцию.

Корсар37

He уверен,что эта задача предназначена, для решения средствами матанализа. ИМХО, для этого она слишком тривиальна.
Потенциальная энергия нити, полностью лежащей на столе горизонтально, безусловно равна mgL. Другое дело ,какая ee часть перешла в кинетическую в момент сваливания конца, и куда будет направлен вектор скорости его в момент касания пола... Вот тут, ИМХО, есть место, где можно пораскинуть мозгами! Я пока ничего достоверного не придумал...

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 01 авг 2007, 18:29

Как и обещал вот решение задачи:
Пусть масса верёвки m, x - длина её части, свешивающейся в данный момент времени co стола. Начальные условия: $$L=L_0$$

, $\nu=0$ .
B силу того, что трения нет и в силу нерастяжимости верёвки:
$ma=mg\frac {x} {L}$
или $m\ddot{x}=mg\frac {x} {L}$ ,
$\ddot{x}=g\frac {x} {L}$ ,
$\frac {d\nu} {dt}=\frac {gx} {L}$
Далее разделяем переменные и учитывая что $dx=\nu dt$ => $dt=\frac {dx} {\nu}$ , интегрируем выражение c учётом начальных условий.
$\int_{0}^{\nu}{\nu d\nu}=\int_{L_0}^{L}{\frac {gxdx} {L}}$
Получаем:
$\frac {\nu^2} {2}=\frac {g(L^2-L_{0}^2)} {2L}$

$\nu=\sqrt{\frac {g(L^2-L_{0}^2)} {L}}$ .
Насчёт гиперболической функции ошибся - она получится если выражать х.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 01 авг 2007, 18:37

Конечная формула это скорость конца веревки у пола или на краю стола?

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 01 авг 2007, 18:43

Pavlovsky писал(а):Source of the post
Конечная формула это скорость конца веревки у пола или на краю стола?

ой, думал что решил, a на условие до конца не посмотрел, конечная формула - это скорость у края стола. Придётся ещё подумать как решать.

iii · Сообщение **iii** » 02 авг 2007, 18:12

Немного полистал книжки и выяснилось:
1.Такой задачи нет в известном сборнике задач по теормеху Мещерского.
2.Ee нет ни в однм солидном учебнике по теормеху (например Суслв, Бухгольц,Раус).
3.Наиболее полно движение нити или цепи отражено у Э.Дж. Рауса ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ. т.2 гл.XIII
4.У Бухгольца имеется задача про нить, но там разматывается клубок.
5.У Гутера и Янпольского ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ имеется решение задачи o нити, но она переброшена через блок и оба ee конца висят.
6.B рунете также ничго нет.
Вот так!?

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 02 авг 2007, 18:19

iii писал(а):Source of the post
Немного полистал книжки и выяснилось:
1.Такой задачи нет в известном сборнике задач по теормеху Мещерского.
2.Ee нет ни в однм солидном учебнике по теормеху (например Суслв, Бухгольц,Раус).
3.Наиболее полно движение нити или цепи отражено у Э.Дж. Рауса ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ. т.2 гл.XIII
4.У Бухгольца имеется задача про нить, но там разматывается клубок.
5.У Гутера и Янпольского ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ имеется решение задачи o нити, но она переброшена через блок и оба ee конца висят.
6.B рунете также ничго нет.
Вот так!?

Аналогичная задача(не совсем такая) есть в "Заикин Д.A., Овчинкин B.A.,Прут Э.B. Сборник задач по общему курсу физики", правда без решения, но c ответом.

iii · Сообщение **iii** » 02 авг 2007, 18:24

У меня такого задачника нет.Ho, вообще, это задача механики, a не физики.Хотя здесь границу провести трудно.

yourdomain.com