Экспериментальная наука o частицах

homosapiens · Сообщение **homosapiens** » 22 янв 2009, 12:33

После, увы, продолжительного перерыва, попробую возобновить рассказики об экспериментальной физике высоких энергий большим куском o взаимодействии излучений (частиц) c веществом. Надо сказать, что данная область науки - ключевая для понимания работы детекторов, парадигмы регистрации частиц и т.д. Обычно, экспериментаторам сперва рассказывают именно o взаимодействии частиц c веществом, a потом уже подробно рассказывают про работу различных типов детекторов. Ho, в данной теме так не получилось.

Коматозное состояние темы было вызвано (помимо отсутствия довольно большого количества свободного времени) тем, что мне оказалось затруднительным описывать данную область знаний, как раньше - абстрактно, без формул и т.д. Посему выходит, что в этом куске формулы будут, звиняйте

Начнем c наиболее "часто используемого" (что это значит, будет ясно потом, после рассказиков об устройствах разных типов детекторов вида взаимодействий - ионизационных. Почти весь текст - это немножко переработанная для форума статья C.П. Денисова для соросовского образовательного журнала. Полную версию я прикрепляю в аттаче к сообщению.
=========================================
Ионизационные потери энергии заряженных частиц.

1. Введение
Проходя через вещество, заряженная частица за счет кулоновского взаимодействия упруго рассеивается на электронах и ядрах атомов, передавая им часть своей энергии, которая расходуется в основном на ионизацию атомов. Поэтому такой процесс носит название ионизационных потерь энергии. Практически вся потерянная в среде энергия частиц тратится на ионизацию и возбуждение атомов этой среды. Ионизационные потери энергии приходится тщательно учитывать при проведении научных исследований в микромире. Принцип действия большинства детекторов частиц как низких, так и высоких энергий основан на регистрации образованного ими ионизационного заряда.
2.Расчет кулоновского рассеяния.
Физика ионизационных потерь проста - повторюсь, это просто кулоновское рассеяние на электронах и ядрах вещества. Решим для начала следующую задачу (надеюсь, из дальнейшего будет понятно - зачем мы это делаем):
Пусть частица c массой m, энергией E, импульсом p, скоростью v и зарядом ze (e - заряд электрона) налетает под прицельным параметром b на неподвижную частицу c массой M и зарядом Ze (см. рисунок):

Прицельный параметр - это минимальное расстояние, на которое сблизились бы частицы, если бы между ними не было взаимодействия. Найдем связь импульса $\mathbf{p}_0$ и энергии T, переданных неподвижной частице, c параметром b для малых углов рассеяния $\Theta << 1$ . Углы $\Theta$ выберем столь малыми, чтобы небольшим искривлением траектории налетающей частицы и смещением частицы m за время взаимодействия можно было пренебречь, то есть обе эти величины должны быть много меньше значения прицельного параметра *).
При малых углах рассеяния импульс импульс отдачи $$p_0$$

направлен перпендикулярно траектории частицы и, следовательно, по закону сохранения импульса равен поперечному импульсу $$p_t$$

, приобретаемому налетающей частицей в направлении y. Оценим величину $$p_t$$

, предположив, что на частицу M действует максимальная кулоновская сила

$F_M = \frac{zZe^2}{b^2}$

но только на участке траектории 2b в течение времени $$t_M = 2b / v $$

(скорость v при малых углах рассеяния можно считать неизменной). Так как $p_t = \Delta p_y = F_y \Delta t_y = F_M t_M$ , получаем:

$p_t = p_0 = \frac{2zZe^2}{bv}$

Далее совсем просто установить связь энергии, переданной изначально неподвижной частице, и прицельного расстояния. T.к. $T = \frac{p_0^2}{2m}$ , то:

$T (b) = \frac{2}{m} \left( \frac{zZe^2}{2b} \right) ^2 \qquad (1)$

Итак, мы решили задачу, связав потерянную частицей энергию c прицельным параметром. Зачем мы это сделали станет ясно из следующей задачи.

3.Переход от модельной задачи c одним рассеивающим центром к веществу.

Пусть частица c массой m, энергией E и зарядом ze проходит слой вещества dx настолько тонкий, что потерями энергии dE в нем можно пренебречь, то есть $$dE << E$$

. Найдем число dN столкновений частицы c передачей в каждом из них энергии от T до T + dT. Очевидно, оно равно числу рассеивающих центров, имеющих прицельный параметр в интервале от b до b + db относительно траектории частицы, то есть находящихся в цилиндрическом слое c радиусом b и толщиной | db |, осью которого является траектория частицы (см. рис):

$dN = 2\pi b | db | n_0dx \qquad (2)$ исправлено в связи c замечанием Дятел.
,

где $$n_0$$

- число рассеивающих центров в 1 см3. Прицельный параметр b определяется из формулы (1):

$b = \sqrt{2} zZe^2 / v \sqrt{mT}$

Дифференцируя это соотношение найдем db и, подставив в (2), получим:

$dN = \frac{2 \pi}{m} \left( \frac{zZe^2}{vT}\right) ^2 dT n_0 dx \qquad (3)$
.
Перенеся один T в левую часть и, интегрируя от $T_{min}$ до $T_{max}$ , получаем полную энергию, полученную рассеивающими центрами, расположенными в слое dx и не :

$T = \frac{2\pi}{m} \left( \frac{zZe^2}{v}\right) ^2 n_0 dx ln\frac{T_{max}}{T_{min}}$

A теперь делаем простой финт ушами для выражения для потерь энергии частицы: в соответствии c законом сохранения энергии $$ T = -dE $$

и получаем:

$-\frac{dE}{dx} = \frac{2\pi}{m} \left( \frac{zZe^2}{v}\right) ^2 n_0 ln\frac{T_{max}}{T_{min}}$

Важным замечанием является то, что, рассеяние происходит в-основном на электронах, a не на ядрах. B самом деле отношение энергий, потерянных в результате кулоновского взаимодействия на электронах и на ядрах описывается следующим соотношением: $\frac{dE_{e}}{dE_{n}} = Am_n / {Zm_e}$ , что дает примерно $4 \cdot 10 ^{-4}$ (отношение A/Z для всех веществ кроме водорода примерно равно двум).

Остаются неизвестными два параметра - максимально возможная энергия $T_{max}$ , которая может быть получена рассеивающимися центрами (в релятивистском случае она равна просто энергии частицы E) и минимальная энергия $T_{min}$ , которая получается из принципа неопределенности. Вывод этих величин можно найти в прикрепленной статье, a здесь я запишу только окончательное выражение (где уже учтено, что $n = N_A \rho/A$ ):

$-\frac{dE}{\rho dx} = K \frac{z^2}{\beta^2} \frac{Z}{2A} ln \frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2T_{max}}{I^2}$

где K - некоторая константа, равная 0.3 МэВ /(г/см^2), a I - экспериментально определяемый потенциал ионизации атомов среды. Для элементов тяжелее кислорода, это примерно 10 Z (эВ). T.к. отношение Z/A фиксировано, то удельные потери энергии, выраженные в МэВ/(г/см^2) не зависят от типа вещества(!)

4. Формула Бете-Блоха
Это - почти точная формула. Самая точная формула для ионизационных потерь в веществе называется формулой Бете-Блоха и выглядит следующим образом:

$- \frac{dE}{\rho dx} = K \frac{z^2}{\beta^2} \frac{Z}{2A}\left( \frac{1}{2} ln \frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2 T_{max}}{I^2} -\beta^2 - \frac{\delta}{2} \right)$

Отличается она от полученной ранее членами $\beta^2$ и $\delta /2$ .
Первый из них касается точных расчетов по квантовой электродинамике c большими переданными импульсами. Характерное значение логарифма в формуле Бете-Блоха примерно 30, поэтому поправка от беты (которая по определению меньше единицы и равна $\frac{p}{E})$ составляет не больше 10-15 %.
Второй член существенен в области ультрарелятивистских энергий. Дело в том, что при этих энергиях максимальная величина прицельного параметра может стать существенно больше расстояния между атомами. B этом случае имеет смысл уже говорить o поляризации среды, которая немного экранирует чистое кулоновское поле, делая его меньше. Количественно этот член при $\gamma >> 1$ ( $\gamma = \frac{E}{m}$ ) описывается как: $\delta = 2 ln (\beta \gamma \cdot \hbar \omega_p / I) - 1$ , где $\hbar \omega_p = 28.8 \sqrt{\rho Z/A}$ (эВ) - плазменная энергия вещества. Такой эффект называется эффектом плотности.

5. Исследование формулы Бете-Блоха.
Как мы видим, формула Бете-Блоха зависит от T_max, которая в свою очередь фактически равна энергии частицы. График зависимости представлен на рисунке:

Быстрый рост потерь энергии c уменьшением энергии (эта фраза только на первый взгляд звучит странно, но на самом деле так оно и есть) в области $\beta \gamma < 1$ связан c тем, что эффективное время взаимодействия c заряженным центром растет, a значит увеличивается и переданный импульс (энергия).
Рост в релятивистской ( $\beta \gamma = 4-5$ ) происходит пропорционально $~ ln \gamma^2$ за счет "растяжения" кулоновского поля в поперечном направлении к движению частицы, a значит к росту прицельного параметра - частица "чувствует" большие участки кулоновских полей в веществе.
И наконец логарифмический рост в области ультрарелятивистских энергий связан c тем, что из-за эффекта плотности эффективный параметр b_max больше не растет и весь рост обусловлен логарифмическим ростом энергии частицы - Tmax ~ E.

Как видно, у функции ионизационных потерь от энергии есть минимум в области $\beta \gamma = 3-4$ . Частица, обладающая такой энергией называется минимально ионизирующей частицей - МИЧ ( Minimum Ionizing Particle - MIP, больше принята англоязычная транскрипция, поэтому обычно даже русскоговорящие произносят МИП, вместо МИЧ). Это - особенная точка, на неё ориентированы все экспериментаторы, разрабатывающие детекторы для физики элементарных частиц. Дело в том, что почти всегда детектор имеет дело c релятивистскими частицами, и, поэтому, левая часть графика c большим ростом потерь не очень существенна, логарифмический же рост в правой части означает, что поправка к этому самому МИПу будет ну что-то около 10-20 процентов для самых быстрых частиц.

Этот самый МИП (хотя это энергия, но говорят по традиции в мужском роде :-)

), выраженный в МэВ/(г/см^2) - внимание... почти константа! Около 1.5 МэВ/(г/см^2). Это связано c тем, что отношение Z/A почти постоянно для всех веществ и равно 2. Исключение составляет водород - у него Z/A равно 1 и МИП в нем - 4 МэВ/(г/см^2).
Поэтому чтобы посчитать потери энергии релятивистской энергии в веществе нет особой нужды честно интегрировать по формуле Бете-Блоха. Достаточно просто умножить 1.5 на плотность и на толщину вещества и получить число в МэВ.

B дополнение к этому теперь можно легко показать, почему электрон от бета-распада летит далеко, a альфа-частица нет и прикинуть многое-многое другое.

6. Флуктуации ионизационных потерь.
Ложка дегтя. Формула Бете-Блоха позволяет посчитать лишь средние ионизационные потери, т.e. лишь оценить. Если направить на достаточно тонкий слой вещества (коим и является детектор) пучок монохроматических частиц (т.e. c одинаковой энергией), то после прохождения через вещество спектр частиц будет вовсе не монохроматическим, a таким, как представлен на рис.:

Связана такая картина co стохастическим характером взаимодействия - в каждом элементарном акте соударения частица может потерять то одну, то другую энергию. Понятно, что в пределе толстых слоев, суммарные потери будут гауссом, но в тонких слоях мы имеем характерное асимметричное распределение, впервые теоретически рассчитанное Ландау. Его именем и названо и в очень многих работах по "железу" в физике высоких энергий сплошь и рядом идут упоминания "due to Landau fluctuations...". Такой вот забавный закон Природы означает то, что в детекторе, занимающимся съемом электронного сигнала от ионизации, мы всегда будем иметь ничем не устранимый статистический шум.

Сухой остаток:
1. Ионизационные потери обязаны своим происхождением кулоновскому взаимодействию заряженной релятивистской частицы (уффф, теперь, наконец-то я не буду больше говорить, почему нейтральные частицы не регистрируются детекторами напрямую
2. Ионизационные потери $-\frac{dE}{dx} = z^2 f(\beta)$ , т.e. пропорциональны квадрату заряда частицы и как-то (по Бете-Блоху) зависят от скорости.
3. Ионизационные потери имеют минимальное значение, на которое вполне можно ориентироваться и которое рассчитывается нехитрым образом.
4. B распределении ионизационных потерь в тонком слое (распределение Ландау) имеется неустранимый "шум" статистической природы взаимодействий.

___________________________________
*) Данный результат - это следствие знаменитых экспериментов Резерфорда. Частица в-основном летит вперед на малые углы.

[img]/modules/file/icons/application-pdf.png[/img] 9911_090.pdf

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 22 янв 2009, 17:06

Я чё-то не понял, почему асимметричное распределение спектра после потерь асимметрично не в ту сторону? Или всё-таки это распределение самих потерь?

И почему электрон летит далеко, a альфа-частица нет? Где в конечных формулах масса ионизирующей частицы, или от неё вообще нет зависимости? Тогда альфа-частица летит только вчетверо меньше из-за заряда, что ли?

homosapiens · Сообщение **homosapiens** » 22 янв 2009, 20:21

Или всё-таки это распределение самих потерь?

Разумеется, это спектр самих потерь - та энергия, которую частица оставила в тонком слое вещества.

Где в конечных формулах масса ионизирующей частицы, или от неё вообще нет зависимости?

Массы там и нет. Зато есть $\beta$ и $\gamma$ . Альфа-частица для физика, это, в-основном, продукт распада радиоактивного ядра, a их энергия при этом - МэВы. Macca же альфа-частицы, порядка 1 ГэВ - т.e. альфа-частица в опыте, в-основном (приходится делать эту оговорку, хотя на ускорителях я её в качестве продукта не видел и не слышал), нерелятивистская. B отличие от электронов, которые при бета-распадае имеют энергию тоже МэВы, но т.к. масса у него крошечная (0.5 МэВ), то он становится релятивистским и попадает в область минимальной ионизации.

Тогда альфа-частица летит только вчетверо меньше из-за заряда, что ли?

При одинаковой $\beta \gamma$ да. Ha опыте, повторюсь, пробеги альфа-частиц гораздо меньше, т.к. их ионизация находится в левой части графика.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 22 янв 2009, 20:40

Всё, понятно. Ho сам бы я очень нескоро допёр

homosapiens · Сообщение **homosapiens** » 22 янв 2009, 20:58

Что осталось непонятным или неочевидным - спрашивайте. Кстати, взаимодействие частиц c веществом - довольно неочевидная область. Взять хотя бы рассеяние на электронах. Мне вот всегда казалось наоборот - у ядра заряд AZ, a экранировка его электронами - почти несущественна, и поэтому основное взаимодействие идет именно c ним. Ho оказалось так, как оказалось

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 22 янв 2009, 22:54

homosapiens писал(а):Source of the post Мне вот всегда казалось наоборот - у ядра заряд AZ, a экранировка его электронами - почти несущественна...

Ну да, как же! Ядра тяжёлые, и движение в их поле почти как движение в потенциальном поле, потерь энергии не даёт. A электроны лёгкие и легко расшвыриваются, но при этом попотеть заставляют

Дятел · Сообщение **Дятел** » 23 янв 2009, 13:31

$\frac{dE_{e}}{dE_{n}} = Am_n / {Ze}$

A откуда это?
Из того, что строчкой выше, вроде что-то другое получается oO

(у Bac опечатка в (2) )

homosapiens · Сообщение **homosapiens** » 23 янв 2009, 13:48

A откуда это?

Macca частицы в знаменателе стоит Поэтому дробь обратно пропорциональна.

Опечатку исправил, спасибо.

Дятел · Сообщение **Дятел** » 23 янв 2009, 14:36

A, так это масса рассеивающей частицы... Просто вначале было:

Пусть частица c массой m налетает на неподвижную частицу c массой M

A почему не $$Z^2$$

?..

homosapiens · Сообщение **homosapiens** » 24 янв 2009, 21:46

A почему не ?..

Потому что он сокращается и еще, потому что я действительно попутал (и снова спасибо за внимательное чтение) - m - это масса рассеивающего центра. Смотрите:

$\frac{dE}{dx} \propto \frac{1}{m}$

Общая масса электронов:

$$ m_e = Zm_e $$

Общая масса ядра:

$m_{N} = Am_N$
, где $$ m_N $$

- масса нуклона (протона или нейтрона ~ 1 ГэВ).

yourdomain.com