Теоретическая механика

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 16 ноя 2013, 22:22

SFResid писал(а):Source of the post
Вычислим нормальные ускорения: a_An = V_A²/(2*R) = 0.2²/(2*0.1) = 0.2 м/с² (1); a_Cn = V_C²/R = 0.1²/0.1) = 0.1 м/с² (2). Модули же полных ускорений, ИМХО, не могут быть меньше, чем модули нормальных ускорений.

Вы ошиблись...
Точка на круге (точка А) движется по циклоиде и радиус кривизны её траектории в верхнем положении равен учетверённому радиусу, а не удвоенному, как у Вас.

balans · Сообщение **balans** » 17 ноя 2013, 04:56

Здравия Вам желаю.

balans писал(а):Source of the post
$\beta =\alpha/2$ (1)

$\lambda^2+l^2 +2\lambda l sin \beta=z^2$ (2)

$\lambda =2R cos \beta$ (3)
$l =R\alpha-s$ (4).

Можно и не решать квадратное уравнение, а сразу подставить (3) в (2). Учитывая, что мы рассматриваем бесконечно малый поворот, можно использовать разложение Тейлора не выше второго порядка:
$cos\beta =1-\frac {\beta^2} {2}$ (5)

$sin\beta=\beta$

Подставив (5) и получим более простое выражение.
$4R^2-4R^2\beta^2 +l^2+4lR\beta= z^2$ (7)
Далее дифференциировать...

Проверьте, возможно, я ошибся.

schoolboy · Сообщение **schoolboy** » 17 ноя 2013, 10:33

Предлагаю такое решение. Как находить скорости очевидно, поэтому про ускорения. Буду обозначать угол при ползуне $\alpha$ , а угол поворота колеса $\phi$ . Очевидно, штырь при ползуне имеет длину $$4r$$

. Тогда координаты верхней точки колеса $x = 4rcos\alpha + s+ const , y = 4rsin\alpha$ . В рассматриваемый момент $\alpha$ максимально, поэтому первая производная равна нулю, так что слагаемые с ней будут равны нулю. Так что получается

$\ddot{x} = 4r \ddot{\alpha} \sin\alpha + \ddot{s}$
$\ddot{y} = 4r \ddot{\alpha} \cos\alpha$

Надо найти вторую производную. Между $\alpha$ и $\phi$ довольно очевидное соотношение (если колесо повернулось на $\phi$ , то коородината $$y$$

равна с одной стороны левой части, а с другой правой)

$r + r\cos\phi = 4 r sin\alpha$

два раза дифференцируя это соотношение, находим (учитывая, что $sin\phi = 0, cos\phi = 1, \dot{\phi} = \frac{v_C}{r}$

$\ddot{\alpha} = \frac{{\dot{\phi}}^2}{4\cos\alpha}$

конечная формула для $$a_A$$

$a_A = \sqrt{(\ddot{s}+ 0.1\tg\alpha)^2+0.1^2} = 0.12666$

очевидно, вертикальная составляющая ускорения точки $$C$$

равна нулю, а горизонтальная в два раза меньше, чем у точки $$A$$

, поэтому

$a_C = \frac{\ddot{s}+ 0.1\tg\alpha}{2} = 0.038867$

Рубен · Сообщение **Рубен** » 17 ноя 2013, 22:37

ALEX165 писал(а):Source of the post
Найдите скорость и ускорение произвольной точки колеса как функцию угла её поворота от вертикальной оси, забыв о том, что там есть эта связывающая палочка - колесо просто катится.
Затем выразите этот угол поворота через расстояние от точки В до точки касания, это тоже просто.
Теперь выразите скорость и ускорение через это расстояние, пользуясь правилами дифференцирования сложной функции.
И ещё - в указанном в условии положении два радиуса и это расстояние - катеты, а палочка - гипотенуза прямоугольного треугольника.

так задачи решают нормальные люди, а надо по-инженерному, т.к. задание предлагается будущим инженерам
Имеется ввиду, что общее уравнение движения можно не составлять, а найти скорость и ускорение именно для этого положения, пользуясь ужимками и прыжками ))

Как это выглядит на практике.
Допустим, мы хотим найти скорость точки $$A$$

. Для этого, зная скорость точки $$B$$

(без дифференцирования закона $$S_B(t)$$

не обойтись) и направление скорости точки $$À$$, мы находим МЦС звена $$AB$$

. Т.к.

и

параллельны друг другу, а перпендикуляры, проведенные к векторам скоростей этих точек через сами точки не пересекаются (и не совпадают), то МСЦ лежит в бесконечности и шатун $$AB$$

в данный момент движется поступательно. Тогда нахожу сразу без ~~труда и без науки~~ расчетов, что $$V_A$$

=

. С помощью МЦС колеса нахожу сразу, что $$V_Ñ $$</span> = <span class=

$$" title="$$ = $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">V_À/2$$

Скорости найдены практически без расчетов
С ускорением чуть сложнее, но если придерживаться этого же стиля мышления, то и их найдем, не прибегая к общему решению.

P.S. То, как оформлял (правильность я даже не проверял) свое решение ravnovesie - это просто неслыханно для той аудитории и тех целей, для которых составляются подобные задачи.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 18 ноя 2013, 00:00

Рубен писал(а):Source of the post С ускорением чуть сложнее, но если придерживаться этого же стиля мышления, то и их найдем, не прибегая к общему решению.

Придумал, как это сделать без труда и без науки

Если рассмотреть колесо, то нормальное ускорение точки A этого колеса находится, как указал Алекс, так:
$a_{_A}^n = v_{_A}/(4R)$ . Про касательное ускорение $a_{_{B}}^t$ нам известно лишь направление: под 30 градусами к шатуну AB. Рассмотрим теперь сам шатун. Если точку B шатуна взять за полюс (есть такое понятие в теормехе), то по "теореме об ускоениях точек при плоскопараллельном движении", ускорение точки A будет равно сумме:
$a_{_A} = a_{_B} + a_{_{AB}}$ . Последнее слагаемое - относительное ускорение т.A относительно т.B. Разложим его:

$a_{_{AB}} = a_{_{AB}}^n +a_{_{AB}}^t$

Первое слагаемое - ноль, т.к. шатун движется в данный момент поступательно, а про второе известно лишь то, что оно перпендикулярно шатуну.

Кульминация)
Проецируем полное ускорение точки A на ось, направленную вдоль шатуна AB. Тогда, с одной стороны, эта проекция будет равна

$a_{_A}^t \cos (30 ^o) - a_{_A}^n \sin (30 ^o) = \sqrt{3} a_{_A}^t / 2 - a_{_A}^n / 2$ , с другой стороны, будет равна $a_{_B} \cos (30^o) = \sqrt{3} a_{_B} / 2$ .

То есть $\sqrt{3} a_{_A}^t / 2 - a_{_A}^n / 2 = \sqrt{3} a_{_B} / 2$

и окончательно:

$a_{_A}^n = v_{_A}/(4R)$

$a_{_A}^t = a_{_B} + a_{_A}^n / \sqrt{3}$

$a_{_A} = \sqrt{(a_{_A}^t)^2 + (a_{_A}^n)^2}$

хоть написал вроде бы много, но писал сразу с головы и больше расписывал, чем действовал, т.е делается все в уме.

balans · Сообщение **balans** » 18 ноя 2013, 02:02

Здравия Вам желаю.

Рубен писал(а):Source of the post
Придумал, как это сделать без труда и без науки

Мы легких путей не ищем.
$\dot{\alpha} =\frac {\dot{ s}} {Rl}\frac {l+R sin\alpha} {1+cos\alpha}$

$\ddot{\alpha} =\frac {\ddot{ s}} {Rl}\frac {l+R sin\alpha} {1+cos\alpha}+\frac {R(lcos\alpha-Rsin\alpha)\dot{ \alpha}^2} {l(l+R sin\alpha)}+\frac {Rsin\alpha\dot{ \alpha}\dot{s}} {l(l+R sin\alpha)}$
Верно общее решение?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 18 ноя 2013, 09:40

balans писал(а):Source of the post Верно общее решение?

Общее решение - это когда вы найдете формулы скорости и ускорения точек A и C.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 18 ноя 2013, 14:00

Рубен писал(а):Source of the post
$a_{_A}^n = v_{_A}/(4R)$

Рубен, поспешили - квадрат забыли

И ещё... Вы не оговорили одну деталь - нормальное ускорение будет таким потому, что производная радиуса кривизны циклоиды в верхней точке равна нулю, иначе нормальное ускорение было бы другим.

Arteeeeemka · Сообщение **Arteeeeemka** » 20 ноя 2013, 19:34

Рубен писал(а):Source of the post
Рубен писал(а):Source of the post С ускорением чуть сложнее, но если придерживаться этого же стиля мышления, то и их найдем, не прибегая к общему решению.

Придумал, как это сделать без труда и без науки

Если рассмотреть колесо, то нормальное ускорение точки A этого колеса находится, как указал Алекс, так:
$a_{_A}^n = v_{_A}/(4R)$ . Про касательное ускорение $a_{_{B}}^t$ нам известно лишь направление: под 30 градусами к шатуну AB. Рассмотрим теперь сам шатун. Если точку B шатуна взять за полюс (есть такое понятие в теормехе), то по "теореме об ускоениях точек при плоскопараллельном движении", ускорение точки A будет равно сумме:
$a_{_A} = a_{_B} + a_{_{AB}}$ . Последнее слагаемое - относительное ускорение т.A относительно т.B. Разложим его:

$a_{_{AB}} = a_{_{AB}}^n +a_{_{AB}}^t$

Первое слагаемое - ноль, т.к. шатун движется в данный момент поступательно, а про второе известно лишь то, что оно перпендикулярно шатуну.

Кульминация)
Проецируем полное ускорение точки A на ось, направленную вдоль шатуна AB. Тогда, с одной стороны, эта проекция будет равна

$a_{_A}^t \cos (30 ^o) - a_{_A}^n \sin (30 ^o) = \sqrt{3} a_{_A}^t / 2 - a_{_A}^n / 2$ , с другой стороны, будет равна $a_{_B} \cos (30^o) = \sqrt{3} a_{_B} / 2$ .

То есть $\sqrt{3} a_{_A}^t / 2 - a_{_A}^n / 2 = \sqrt{3} a_{_B} / 2$

и окончательно:

$a_{_A}^n = v_{_A}/(4R)$

$a_{_A}^t = a_{_B} + a_{_A}^n / \sqrt{3}$

$a_{_A} = \sqrt{(a_{_A}^t)^2 + (a_{_A}^n)^2}$

хоть написал вроде бы много, но писал сразу с головы и больше расписывал, чем действовал, т.е делается все в уме.

Всем спасибо, но вам особенно большое спасибо) именно таким образом и нужно было решить, но не могли бы вы дать еще небольшую наводку на нахождение ускорение буквы С? Попробовал найти угловое ускорение из ответа и у меня оно получилось в квадрате <0. Что то не сходится(

Рубен · Сообщение **Рубен** » 20 ноя 2013, 21:38

Arteeeeemka писал(а):Source of the post Всем спасибо, но вам особенно большое спасибо) именно таким образом и нужно было решить, но не могли бы вы дать еще небольшую наводку на нахождение ускорение буквы С?

Принцип следующий.
Для всякой точки М мы каждый раз пользуемся универсальным кинематическим соотношением: $\mathbf {a_{_M} = a_{_P} + a_{_{MP}}}$
Первое слагаемое в правой части - известное ускорение некой точки P (называемой полюсом).
Второе слагаемое - относительное ускорение и оно обычно тоже неизвестно. Как бы тупик: одно уравнение и два неизвестных. Но если вспомнить, что каждое ускорение можно разложить в естественной СК на две составляющие: нормальную и тангенциальную, то уравнение распишется:

$\mathbf {a^n_{_M} + a^t_{_M} = a_{_P} + a^n_{_{MP}} + a^t_{_{MP}}}$

После определения скоростей, все слагаемые с индексом n численно находятся. Их направления тоже известны. В слагаемых с индексом t известно, как правило, лишь направление, а величина неизвестна. Это означает, спроектировав на любую декартову систему координат это векторное уравнение, мы получим систему с из двух уравнений (по одному на каждую ось) с двумя неизвестными - касательными ускорениями. Решая систему находим все ускорения. Но можно и вовсе обойтись только одной осью, если направить её так, чтобы в уравнение, спроецированное на эту ось, не вошло неизвестное и, что важно, не требуемое от нас в ответе ускорение $a^t_{_{MP}}$ . Тогда получается одно уравнение с одним неизвестным ускорением ${a^t_{_M}$ , решая которое непосредственно получаем ответ к задаче.

В случае ускорения $${a_{_Ñ}$$ за полюс, очевидно, надо брать известное уже ускорение ${a_{_A}$ .

P.S. Скажу на будущее. Подобные задачи, требующие от студента владения такими приемами, это на самом деле не теоретическая механика - раздел физики, а прикладная механика. Отличается, во-первых, простотой как математических моделей, так и задач, решаемых этими моделями, а во-вторых непременно техническим приложением как самих задач (рычаг, валик, шатун), так и методов решения этих задач (графический, графоаналитический).

Это чтобы по окончании института вы имели хоть представление о том, что же вы на самом деле учили. А то в будущем будете рассказывать своим детям про институтские годы: мол, учил теоретическую механику

ALEX165 писал(а):Source of the post
Рубен писал(а):Source of the post
$a_{_A}^n = v_{_A}/(4R)$

Рубен, поспешили - квадрат забыли

Да, со мной часто такое...спасибо, что поправили.

И ещё... Вы не оговорили одну деталь - нормальное ускорение будет таким потому, что производная радиуса кривизны циклоиды в верхней точке равна нулю, иначе нормальное ускорение было бы другим.

Предлагаю вам в этой теме об этом написать поподробнее (если будет тяга к просвещению)

yourdomain.com