Арнольд. Лагранжева динамическая система.

[peregoudov]

Ну, в общем, да. За исключением того, что фазовое пространство --- это не касательное, а кокасательное расслоение (у Арнольда это есть, просто дальше).

Но в вашем тексте не прозвучала явно одна мысль. Обычно почему-то считают, что векторы скорости в разных точках траектории лежат в одном и том же пространстве скоростей. А математики считают по-другому: что в каждой точке многообразия задано касательное пространство (все вместе эти пространства и образуют касательное расслоение) и вектор скорости частицы, оказавшейся в этой точке многообразия, лежит в касательном пространстве этой точки. То есть вектора скорости в разных точках траектории лежат в разных касательных пространствах. Такая точка зрения имеет смысл, так как в явном виде демонстрирует, что для определения разности скоростей (=ускорения) нужно ввести какое-то отождествление касательных пространств в разных точках многообразия. Отсюда растут ноги у таких понятий как "параллельный перенос", "связность" и "ковариантная производная".

[Dragon27]

И весь этот диффгем уже в механике. Жуть...

[cupuyc]

Source of the post
Ну, в общем, да. За исключением того, что фазовое пространство --- это не касательное, а кокасательное расслоение (у Арнольда это есть, просто дальше).

Но в вашем тексте не прозвучала явно одна мысль. Обычно почему-то считают, что векторы скорости в разных точках траектории лежат в одном и том же пространстве скоростей. А математики считают по-другому: что в каждой точке многообразия задано касательное пространство (все вместе эти пространства и образуют касательное расслоение) и вектор скорости частицы, оказавшейся в этой точке многообразия, лежит в касательном пространстве этой точки. То есть вектора скорости в разных точках траектории лежат в разных касательных пространствах. Такая точка зрения имеет смысл, так как в явном виде демонстрирует, что для определения разности скоростей (=ускорения) нужно ввести какое-то отождествление касательных пространств в разных точках многообразия. Отсюда растут ноги у таких понятий как "параллельный перенос", "связность" и "ковариантная производная".

Да, это понятно. Если, скажем, для приведённого мной примера с материальной точкой наложена голономная связь (сферический маятник), то конфигурационное многообразие будет представлять собой сферу, а вектора скорости материальной точки должны всегды быть касательны к поверхности этой сфере. Тут очевидно, что в каждой точке конфигурационного пространства своё пространство скоростей. Отсюда и вылазит "особое" правило параллеьного переноса вектора скорости.

[student_kiev]

Source of the post И весь этот диффгем уже в механике. Жуть...

Круть!... Что может быть вкуснее геометрического языка?
P.S. к своему стыду, пока эту книгу не освоил

[Dragon27]

Просто возникает такое ощущение, что для того, чтобы понимать физику, с самого начала (классическая механика) нужно уже знать не только матан, линал, ангем, диффуры и вариационное исчисление, но ещё и дифференциальную геометрию

[peregoudov]

Ну, это у Арнольда так изложено. Нужно иметь в виду, что книга написана по материалам лекций для математиков, которые, наверное, уже изучили и дифференциальные уравнения и дифференциальную геометрию. В физической литературе механика излагается обычно на более элементарном математическом языке.

По поводу понимания физики --- это отдельная тема

На мой взгляд, книга Арнольда "Математические методы классической механики" (мы ведь ее читаем?) не может служить учебником для первоначального ознакомления с предметом. Это книга мета-уровня, когда читатель уже знаком со всеми понятиями механики, теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрией, и ему пытаются привить "междисциплинарное зрение", показать "взаимообогащающее влияние" этих областей. Не то чтобы это было неправильно, просто, с одной стороны, это все же вершина теории, до которой мало кто добирается и путь к которой таки лежит через более элементарные разделы, а, с другой, в конкретных задачах таки приходится к этим более элементарным разделам возвращаться В общем, я хотел бы в очередной раз предостеречь вас от мунинизма, когда человек красиво говорит об общих вещах, но плавает в любой конкретной задаче.

[cupuyc]

peregoudov, так повернулась моя исследовательская работа, что с геометрическим подходом к описанию механики нужно разобраться. Есть несколько статей, с которыми хочется разобраться, но матаппарат осилить не могу. А книжка Арнольда относительно проста для понимания.

[Dragon27]

Source of the post В физической литературе механика излагается обычно на более элементарном математическом языке.

Ну это да, но вот я читал Ольховского, и там матан, диффурчики и тому подобное уже сразу надо знать, чтоб упражнения решать. Даже с дифференциальной геометрией кривых надо бы уже немного ознакомиться, чтоб легче было.

[student_kiev]

Source of the post Ну, это у Арнольда так изложено. Нужно иметь в виду, что книга написана по материалам лекций для математиков, которые, наверное, уже изучили и дифференциальные уравнения и дифференциальную геометрию.

в то же время Арнольд пишет:

Математический аппарат классической механики строится в настоящей книге с самого начала, так что у читателя не предполагается предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных курсов анализа (производная, интеграл, дифференциальные уравнения), геометрии (линейное пространство, векторы) и линейной алгебры (линейные операторы, квадратичные формы).

[Dragon27]

Source of the post в то же время Арнольд пишет

Можно, конечно, попробовать изучать анализ, например, сразу по Зоричу (или даже Шварцу), но это будет не очень продуктивным занятием.