Притяжение полушарий

Securus · Сообщение **Securus** » 21 май 2011, 01:08

Там получается огроменное решение. А мой одногрупник утверждал, что можно обойтись одним интегралом.

Таланов

Симметрия задачи позволяет искать только осевую проекцию силы, поскольку проекции, параллельные плоскости диска в сумме скомпенсируются.

Securus писал(а):Source of the post
Например у меня возникает подзадача: найти приятяжение точки диском (при чём точка не на оси симметрии) - а это уже для меня совершенно печально считать.

Здесь элементарная подзадача - найти силу между кольцами, с параллельными плоскостями и с центрами на одной оси.

Securus · Сообщение **Securus** » 21 май 2011, 01:23

Не помогает. Наверное, я всё-таки не рационально считаю. У меня появилась ещё одна идея. Попробую реализовать завтра.

Таланов

Пробуйте точку с кольцом, оставляя осевую проекцию.

Jeffry · Сообщение **Jeffry** » 21 май 2011, 05:17

Я понял так, что задача не имеет отношение к электростатике (не было об этом упоминания в формулировке задачи), она про гравитацию.
Тогда - суммарное притяжение симметрично удаленных дисков (в обеих полусферах) можно выразить одним интегралом.

Таланов

Jeffry писал(а):Source of the post
Я понял так, что задача не имеет отношение к электростатике (не было об этом упоминания в формулировке задачи), она про гравитацию.
Тогда...

Разницы нет. Формулы для законов одинаковые. Меняете массу на заряд или наоборот.

da67 · Сообщение **da67** » 21 май 2011, 05:52

Начните с задачи про силу отталкивания половинок равномерно заряженной полусферы.
Потом порежьте полушар на тонкие полусферы.
Интеграл будет очень простой: $\int x^3dx$ .

Идея Перегудова замечательная. Почти устно всё получается.

Прошу любителей плодить мусор не засорять тему.

Teplorod · Сообщение **Teplorod** » 21 май 2011, 12:17

Вычислим работу необходимую, чтобы раздвинуть две полусферы на малое расстояние $$d$$

, при силе притяжения $$F$$

Гравитационная потенциальная энергия системы увеличивается, когда полушария раздвигаются. Это увеличение равно работе.
Определим работу проделанную внешними силами по переносу материала объекта из объема диска радиуса $$R$$

и толщиной $$d$$

к поверхности и равномерному распределению. Гравитационный потенциал точки, удаленной от центра объекта на расстояние $$x$$

$-\frac {GM} {R}-\frac {GM(R^2-x^2)} {2R^3}$
Потенциал на поверхности
$-\frac {GM} {R}$
(полная аналогия с электростатикой- потенциал внутри однородно заряженного шара)
Рассмотрим кольцо находящиеся между $$x$$

и

Поэтому работа по поднятию этого кольца будет равна
$\delta A=dm\frac {GM(R^2-x^2)} {2R^3}=\rho dV\frac {GM(R^2-x^2)} {2R^3}=\frac {3M} {4 \pi R^3}dV\frac {GM(R^2-x^2)} {2R^3}=\frac {3M} {4 \pi R^3}d2 \pi x dx\frac {GM(R^2-x^2)} {2R^3}=\frac {3} {4} \frac {GM^2d} {R^6} (r^2-x^2)xdx$
тогда полная работа
$\int_{0}^{R}{\frac {3} {4} \frac {GM^2d} {R^6} (r^2-x^2)xdx}=\frac {3} {16}\frac {dGM^2} {R^2}$
Тогда
$\frac {3} {16}\frac {dGM^2} {R^2}=Fd$

$\frac {3} {16}\frac {GM^2} {R^2}=F$

Вроде получилось не очень сложно. Надеюсь ответ верный.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 21 май 2011, 16:04

da67 писал(а):Source of the post Начните с задачи про силу отталкивания половинок равномерно заряженной полусферы.

А силу брать по поверхности или по объёму?

s2009_33 · Сообщение **s2009_33** » 21 май 2011, 18:19

da67 писал(а):Source of the post
Почти устно всё получается.

Тогда решение приведите пожалуйста и ответ, чтобы было с чем сравнивать.

yourdomain.com