Электрический потенциал

da67 · Сообщение **da67** » 24 дек 2009, 15:04

fir-tree писал(а):Source of the post He понимаю, что вы обозначаете $\delta$ .

Разность величины на сферах c радиусами $$R+dR$$

и

- как бы вариация.
Интегралы отличаются не только тем, что потенциалы различны, но и площадями сфер, т.e. даже для $\varphi=const$ разница будет.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 24 дек 2009, 15:19

Вы подразумеваете, что отличаются $$dS$$

, охватывающие один и тот же телесный угол?

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 24 дек 2009, 15:35

Кажется, понял. B моих обозначениях $ds=R^2\,d^2\mathrm{\Phi}$ , так что
$d\langle\varphi\rangle(R)=\frac{1}{4\pi R^2}\int_{\mathrm{\Phi}}\varphi(R)ds_{R}-\frac{1}{4\pi (R-dR)^2}\int_{\mathrm{\Phi}}\varphi(R-dR)ds_{R-dR}=$
$=\frac{1}{4\pi R^2}\int_{\mathrm{\Phi}}\varphi(R)\,R^2\,d^2\mathrm{\Phi}-\frac{1}{4\pi (R-dR)^2}\int_{\mathrm{\Phi}}\varphi(R-dR)\,(R-dR)^2\,d^2\mathrm{\Phi}$ ,
так что всё просто сокращается, и получается
$=\frac{1}{4\pi \cancel{R^2}}\int_{\mathrm{\Phi}}\varphi(R)\,\cancel{R^2}\,d^2\mathrm{\Phi}-\frac{1}{4\pi \cancel{(R-dR)^2}}\int_{\mathrm{\Phi}}\varphi(R-dR)\,\cancel{(R-dR)^2}\,d^2\mathrm{\Phi}=$
$=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathrm{\Phi}}(\varphi(R)-\varphi(R-dR))d^2\mathrm{\Phi}=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathrm{\Phi}}E_n(R)\,dR\,d^2\mathrm{\Phi}=0$ .

Получается даже без дифура.

P. S. Получается, первоначально я сделал две ошибки (забыл про нормировку на площадь, и про связь $$ds$$

c радиусом), которые взаимно компенсировали друг друга Ещё один вариант, когда минус на минус даёт плюс

da67 · Сообщение **da67** » 24 дек 2009, 15:43

fir-tree писал(а):Source of the post Вы подразумеваете, что отличаются , охватывающие один и тот же телесный угол?

Да

fir-tree писал(а):Source of the post Получается даже без дифура.

Так ещё лучше.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 24 дек 2009, 17:45

A по-крестьянски в сферических координатах это почти очевидно для одного источника:
$J=\int\limits_0^{\pi} \frac{2\pi R^2sin(\varphi)d\varphi}{\sqrt{R^2+r^2-2Rrcos(\varphi)}}=\frac{4\pi R^2}{r}$
$\vec r$ - от источника к центру сферы,
$\vec R$ - от центра сферы к точке на ней
И в силу линейности это справедливо для любого распределения источников, не находящихся на сфере.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 24 дек 2009, 19:44

Вот как вы это записали?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 24 дек 2009, 20:06

fir-tree писал(а):Source of the post
Вот как вы это записали?

Сейчас в кероле попытаюсь картинку нарисовать.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 24 дек 2009, 21:25

Вот картинка:

ф это угол $\varphi$ , точка на окружности - текущая, расстояние от источника до неё = $\sqrt{(Rsin(\varphi))^2+(r-Rcos(\varphi))^2}=\sqrt{R^2+r^2-2Rrcos(\varphi)}$
Числитель под интегралом $(2\pi Rsin(\varphi))Rd\varphi$ - площадь колечка на угле $d\varphi$ после интегрирования по углу $\theta$ "вокруг" оси центр сферы - источник

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 25 дек 2009, 10:38

Простите, вы про какой источник? У нас, как я думал, только одна сфера, без зарядов, и без переменной $$r$$

.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 25 дек 2009, 11:01

fir-tree писал(а):Source of the post
Простите, вы про какой источник? У нас, как я думал, только одна сфера, без зарядов, и без переменной .

Точечный источник электрического поля.

yourdomain.com