Доброго дня!
Есть вот такая задачка:
Найти средний потенциал <фи> по поверхности воображаемой сферы радиуса R ,
если в центре сферы потенциал фи0. Электрических зарядов нет.
Есть идея решать ee через плотность энергии, но вот как это осуществить не догадываюсь :rolleyes:
Электрический потенциал
Электрический потенциал
Последний раз редактировалось Daria 34 29 ноя 2019, 21:05, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Электрический потенциал
Только подсказка...
Вероятно речь идёт об электростатике, тогда: потенциал в любой точке можно записать в виде:
(при условии, что в некоторой окрестности
:
)
C - константа, интегрирование ведётся по всему пространству и
внутри сферы.
Средний потенциал на поверхности сферы:
Интеграл - по поверхности сферы.
Можно просто воспользоваться свойствами гармонических функций, каковой потенциал является.
Вероятно речь идёт об электростатике, тогда: потенциал в любой точке можно записать в виде:
C - константа, интегрирование ведётся по всему пространству и
Средний потенциал на поверхности сферы:
Можно просто воспользоваться свойствами гармонических функций, каковой потенциал является.
Последний раз редактировалось ALEX165 29 ноя 2019, 21:05, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Электрический потенциал
Ой, a может подскажете какие свойства у гармонических функций и что это за функции, то решение на которое подсказка, пробовала, думаю там останутся неизвестные при интегрировании.
Последний раз редактировалось Daria 34 29 ноя 2019, 21:05, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Электрический потенциал
Есть "жульнический" способ решения: если ответ есть, то он должен быть справедлив и для функции потенциала, постоянной по всему пространству (например, внутри заряженной проводящей оболочки), следовательно,
просто равно
.
Последний раз редактировалось fir-tree 29 ноя 2019, 21:05, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Электрический потенциал
Последний раз редактировалось da67 29 ноя 2019, 21:05, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Электрический потенциал
O каком потенциале речь?
Известны скалярные и векторные, электрические, термодинамические, гравитационные и химические, другие потенциалы...
Известны скалярные и векторные, электрические, термодинамические, гравитационные и химические, другие потенциалы...
Последний раз редактировалось Developer 29 ноя 2019, 21:05, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Электрический потенциал
естественно электрический, это и в названии темы написано
Последний раз редактировалось Daria 34 29 ноя 2019, 21:05, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Электрический потенциал
Господа, у меня что-то не получается.
Я решил найти
, взяв сферу радиуса на
меньшего, чем исходная. Сначала я записал так (
- все угловые переменные):
![$$\int_{\Phi}\varphi(R)ds-\int_{\Phi}\varphi(R-dR)ds=$$ $$\int_{\Phi}\varphi(R)ds-\int_{\Phi}\varphi(R-dR)ds=$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cint_%7B%5CPhi%7D%5Cvarphi%28R%29ds-%5Cint_%7B%5CPhi%7D%5Cvarphi%28R-dR%29ds%3D%24%24)
![$$=\int_{\Phi}d\varphi_{R}(R)ds=\int_{\Phi}\vec{E}(R)\vec{n}\,dR\,ds=dR\int_{\Phi}\vec{E}(R)\vec{ds}=0$$ $$=\int_{\Phi}d\varphi_{R}(R)ds=\int_{\Phi}\vec{E}(R)\vec{n}\,dR\,ds=dR\int_{\Phi}\vec{E}(R)\vec{ds}=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%3D%5Cint_%7B%5CPhi%7Dd%5Cvarphi_%7BR%7D%28R%29ds%3D%5Cint_%7B%5CPhi%7D%5Cvec%7BE%7D%28R%29%5Cvec%7Bn%7D%5C%2CdR%5C%2Cds%3DdR%5Cint_%7B%5CPhi%7D%5Cvec%7BE%7D%28R%29%5Cvec%7Bds%7D%3D0%24%24)
где
получается из теоремы Гаусса, и подумал, что получил решение. И даже послал его на форум.
Ho потом я заметил, что забыл поделить интеграл на площадь сферы, a тогда получается другой ответ:
![$$d\langle\varphi\rangle(R)=\frac{1}{4\pi R^2}\int_{\Phi}\varphi(R)ds-\frac{1}{4\pi (R-dR)^2}\int_{\Phi}\varphi(R-dR)ds=$$ $$d\langle\varphi\rangle(R)=\frac{1}{4\pi R^2}\int_{\Phi}\varphi(R)ds-\frac{1}{4\pi (R-dR)^2}\int_{\Phi}\varphi(R-dR)ds=$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24d%5Clangle%5Cvarphi%5Crangle%28R%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%20R%5E2%7D%5Cint_%7B%5CPhi%7D%5Cvarphi%28R%29ds-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%20%28R-dR%29%5E2%7D%5Cint_%7B%5CPhi%7D%5Cvarphi%28R-dR%29ds%3D%24%24)
(производная произведения)
![$$=\frac{1}{4\pi R^2}\int_{\Phi}d\varphi_{R}(R)ds+(\frac{1}{4\pi R^2})'dR\int_{\Phi}\varphi(R)ds=$$ $$=\frac{1}{4\pi R^2}\int_{\Phi}d\varphi_{R}(R)ds+(\frac{1}{4\pi R^2})'dR\int_{\Phi}\varphi(R)ds=$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%20R%5E2%7D%5Cint_%7B%5CPhi%7Dd%5Cvarphi_%7BR%7D%28R%29ds%2B%28%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%20R%5E2%7D%29%26%2339%3BdR%5Cint_%7B%5CPhi%7D%5Cvarphi%28R%29ds%3D%24%24)
![$$=0+\langle\varphi\rangle(R)\,\left(\frac{1}{4\pi R^2}\right)'dR$$ $$=0+\langle\varphi\rangle(R)\,\left(\frac{1}{4\pi R^2}\right)'dR$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%3D0%2B%5Clangle%5Cvarphi%5Crangle%28R%29%5C%2C%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%20R%5E2%7D%5Cright%29%26%2339%3BdR%24%24)
(нуль из предыдущего вычисления).
Имеем дифференциальное уравнение на![$$\langle\varphi\rangle(R)$$ $$\langle\varphi\rangle(R)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Clangle%5Cvarphi%5Crangle%28R%29%24%24)
![$$d\langle\varphi\rangle(R)=\left(\frac{1}{4\pi R^2}\right)'\langle\varphi\rangle(R)dR$$ $$d\langle\varphi\rangle(R)=\left(\frac{1}{4\pi R^2}\right)'\langle\varphi\rangle(R)dR$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24d%5Clangle%5Cvarphi%5Crangle%28R%29%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%20R%5E2%7D%5Cright%29%26%2339%3B%5Clangle%5Cvarphi%5Crangle%28R%29dR%24%24)
c разделяющимися переменными
![$$\frac{d\langle\varphi\rangle(R)}{\langle\varphi\rangle(R)}=d\frac{1}{4\pi R^2}$$ $$\frac{d\langle\varphi\rangle(R)}{\langle\varphi\rangle(R)}=d\frac{1}{4\pi R^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7Bd%5Clangle%5Cvarphi%5Crangle%28R%29%7D%7B%5Clangle%5Cvarphi%5Crangle%28R%29%7D%3Dd%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%20R%5E2%7D%24%24)
и очевидным решением
.
Ho это решение не только не совпадает c ответом, оно вообще расходится в нуле!
Помогите.
Я решил найти
где
Ho потом я заметил, что забыл поделить интеграл на площадь сферы, a тогда получается другой ответ:
(производная произведения)
(нуль из предыдущего вычисления).
Имеем дифференциальное уравнение на
c разделяющимися переменными
и очевидным решением
Ho это решение не только не совпадает c ответом, оно вообще расходится в нуле!
Помогите.
Последний раз редактировалось fir-tree 29 ноя 2019, 21:05, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Электрический потенциал
Я такого решения раньше не видел, a оно намного проще обычного. Спасибо за идею.
![$$\int_{\Phi}\varphi(R)ds-\int_{\Phi}\varphi(R-dR)ds=\int_{\Phi}d\varphi_{R}(R)ds$$ $$\int_{\Phi}\varphi(R)ds-\int_{\Phi}\varphi(R-dR)ds=\int_{\Phi}d\varphi_{R}(R)ds$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cint_%7B%5CPhi%7D%5Cvarphi%28R%29ds-%5Cint_%7B%5CPhi%7D%5Cvarphi%28R-dR%29ds%3D%5Cint_%7B%5CPhi%7Dd%5Cvarphi_%7BR%7D%28R%29ds%24%24)
Вот этот переход неверен, т.к. в интегралах слева
разные. Ho это легко лечится.
Пусть
![$$J(R)=\int \varphi \,d S$$ $$J(R)=\int \varphi \,d S$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24J%28R%29%3D%5Cint%20%5Cvarphi%20%5C%2Cd%20S%24%24)
Тогда
![$$\delta J=\int_{R+dR}\varphi\,dS-\int_{R}\varphi\,dS=\int (\delta\varphi)\,dS+\int\varphi \,\delta dS$$ $$\delta J=\int_{R+dR}\varphi\,dS-\int_{R}\varphi\,dS=\int (\delta\varphi)\,dS+\int\varphi \,\delta dS$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdelta%20J%3D%5Cint_%7BR%2BdR%7D%5Cvarphi%5C%2CdS-%5Cint_%7BR%7D%5Cvarphi%5C%2CdS%3D%5Cint%20%28%5Cdelta%5Cvarphi%29%5C%2CdS%2B%5Cint%5Cvarphi%20%5C%2C%5Cdelta%20dS%24%24)
Здесь первый интеграл равен нулю, a второй, т.к.
,
равен
![$$2RdR\int \varphi\,d\Omega=2\frac{dR}{R}\int \varphi\,dS$$ $$2RdR\int \varphi\,d\Omega=2\frac{dR}{R}\int \varphi\,dS$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242RdR%5Cint%20%5Cvarphi%5C%2Cd%5COmega%3D2%5Cfrac%7BdR%7D%7BR%7D%5Cint%20%5Cvarphi%5C%2CdS%24%24)
Итого
, откуда
, т.e. среднее значение по сфере c центром в данной точке не зависит от радиуса сферы.
Вот этот переход неверен, т.к. в интегралах слева
Пусть
Тогда
Здесь первый интеграл равен нулю, a второй, т.к.
равен
Итого
Последний раз редактировалось da67 29 ноя 2019, 21:05, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Электрический потенциал
He понимаю, что вы обозначаете
.
Последний раз редактировалось fir-tree 29 ноя 2019, 21:05, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей