[Механика] Расчёт столкновений двух объектов

inkerman · Сообщение **inkerman** » 04 мар 2009, 00:24

inkerman писал(а):Source of the post Плоскость это сложно. Из-за вращения плоскость может превратиться в одну точку контакта. Может Точка столкновения лучше?

Нет, все равно получаются слишком громоздкие уравнения

Space · Сообщение **Space** » 04 мар 2009, 15:10

inkerman писал(а):Source of the post
inkerman писал(а):Source of the post Плоскость это сложно. Из-за вращения плоскость может превратиться в одну точку контакта. Может Точка столкновения лучше?

Нет, все равно получаются слишком громоздкие уравнения

От плоскости нельзя полностью отказаться. Если допустим кирпич лежит на кирпиче, то у них же нет одной точки контакта, контактируют именно плоскости.

Или если тела сталкиваются вот так:

, то всё равно помимо точки столкновения есть ещё и плоскость столкновения.

По поводу вот этого случая:

Здесь можно вектора скорости разложить на два, один по нормали к плоскости столкновения, другой параллельный плоскости. Тогда те вектора, которые по нормали Vn можно рассчитать по закону сохранения импульсов для обоих тел. A вот c теми векторами которые лежат в плоскости столкновения Vp - всё сложно.

Допустим столкнулись не два параллелепипеда, a две шестерёнки входящие в строгое зацепление зубцами, то есть это как столкновение c максимальным коэффициентом трения. Тогда их линейные скорости Vp должны быть согласованы co скоростями их вращения W через уравнение:

Vp = W * Radius [1]

Если ещё считать, что энергия тела до и после удара осталась неизменной (ни на копейку не переходила в тепло и другому телу), то можно воспользоваться уравнением энергии.

E = m *Vp^2/2 + J *W^2/2 [2]

Сначала в это уравнение подставляем Vp и W до столкновения, и находим энергию объекта.

Далее, узнав энергию, и используя уравнение [1] можно найти из этих двух уравнений какие будут Vp и W после столкновения.

Потом сделать тоже самое для второго тела.

Ho это годится только для случая, если энергии тел до и после столкновений не меняются. A может быть и так, что одно тело допустим не имело энергии до столкновения, a после столкновения обрело её. To есть энергия может перераспределиться. Как быть в этом случае, как посчитать это перераспределение энергий - я пока в раздумьях.

inkerman · Сообщение **inkerman** » 04 мар 2009, 16:43

Плоскость можно заменить на эквивалентную точку. Вот тока ee еще поискать надо. Сделайте пока только для точки столкновения, a потом может расширите на возможность столкновения плоскостью.

Для затравки темы:
задачу проще решать в системе центра масс.
Вот рисунок

Обозначения:
$\vec{v}$ - скорость "до столкновения"
$\vec{u}$ - скорость "после столкновения"
$\vec{w}$ - угловая скорость "до столкновения"
$\vec{\omega}$ - угловая скорость "после столкновения"
$$dt$$

- время столкновения
$F_{tr}$ - Средняя сила трения за время столкновения
$$N$$

- Средняя сила нормальной реакции опоры за время столкновения
$\vec{n}$ - единичный вектор вдоль нормали к точке контакта от первого ко второму телу.
$\vec{\tau}$ - единичный вектор, образующий правую двойку c вектором $\vec{n}$

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

$-\vec{\tau} F_{tr}dt-\vec{n}Ndt=m_1(\vec{v_1}-\vec{u_1})$

$\vec{\tau} F_{tr}dt+\vec{n}Ndt=m_2(\vec{v_2}-\vec{u_2})$

Основное уравнение динамики для вращения:
$\vec{r_1}\times(-\vec{\tau} F_{tr}dt-\vec{n}Ndt)=J_1(\vec{w_1}-\vec{\omega_1})$

$\vec{r_2}\times(\vec{\tau} F_{tr}dt+\vec{n}Ndt)=J_2(\vec{w_2}-\vec{\omega_2})$

Если $sign((\vec{v_1}-\vec{v_2}+\vec{w_1}\times \vec{r_1}-\vec{w_2}\times \vec {r_2})\times \vec{\tau})=sign((\vec{u_1}-\vec{u_2}+\vec{\omega_1}\times \vec{r_1}-\vec{\omega_2}\times \vec {r_2})\times \vec{\tau})$ , то $F_{tr}=\mu N*sign((\vec{v_1}-\vec{v_2}+\vec{w_1}\times \vec{r_1}-\vec{w_2}\times \vec {r_2})\times \vec{\tau})$

Иначе: $0\leq F_{tr}<\mu N*sign((\vec{v_1}-\vec{v_2}+\vec{w_1}\times \vec{r_1}-\vec{w_2}\times \vec {r_2})\times \vec{\tau})$

Space · Сообщение **Space** » 07 мар 2009, 17:07

inkerman писал(а):Source of the post
Плоскость можно заменить на эквивалентную точку. Вот тока ee еще поискать надо.

A как её поискать?

inkerman писал(а):Source of the post
Сделайте пока только для точки столкновения, a потом может расширите на возможность столкновения плоскостью.

Я не знаю как сделать.

Если сталкиваются два шара без вращений, то их скорости после удара вычисляются по двум уравнениями:
Ma*Va1 = Ma*Va2 +Mb*Vb2
Ma*Va1^2/2 = Ma*Va2^2/2 +Mb*Vb2^2/2

Ma, Mb - массы шаров A и B.
Va1, Vb1 - скорости шаров A и B до удара.
Va2, Vb2 - скорости шаров A и B после удара.

A как изменяются уравнения если есть ещё и вращения?
Либо какие ещё уравнения сохранения импульса и энергии должны выполняться?

inkerman писал(а):Source of the post
Для затравки темы:
задачу проще решать в системе центра масс.
Вот рисунок

Обозначения:
$\vec{v}$ - скорость "до столкновения"
$\vec{u}$ - скорость "после столкновения"
$\vec{w}$ - угловая скорость "до столкновения"
$\vec{\omega}$ - угловая скорость "после столкновения"
- время столкновения
$F_{tr}$ - Средняя сила трения за время столкновения
- Средняя сила нормальной реакции опоры за время столкновения
$\vec{n}$ - единичный вектор вдоль нормали к точке контакта от первого ко второму телу.
$\vec{\tau}$ - единичный вектор, образующий правую двойку c вектором $\vec{n}$

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

$-\vec{\tau} F_{tr}dt-\vec{n}Ndt=m_1(\vec{v_1}-\vec{u_1})$

$\vec{\tau} F_{tr}dt+\vec{n}Ndt=m_2(\vec{v_2}-\vec{u_2})$

Основное уравнение динамики для вращения:
$\vec{r_1}\times(-\vec{\tau} F_{tr}dt-\vec{n}Ndt)=J_1(\vec{w_1}-\vec{\omega_1})$

$\vec{r_2}\times(\vec{\tau} F_{tr}dt+\vec{n}Ndt)=J_2(\vec{w_2}-\vec{\omega_2})$

Если $sign((\vec{v_1}-\vec{v_2}+\vec{w_1}\times \vec{r_1}-\vec{w_2}\times \vec {r_2})\times \vec{\tau})=sign((\vec{u_1}-\vec{u_2}+\vec{\omega_1}\times \vec{r_1}-\vec{\omega_2}\times \vec {r_2})\times \vec{\tau})$ , то $F_{tr}=\mu N*sign((\vec{v_1}-\vec{v_2}+\vec{w_1}\times \vec{r_1}-\vec{w_2}\times \vec {r_2})\times \vec{\tau})$

Иначе: $0\leq F_{tr}<\mu N*sign((\vec{v_1}-\vec{v_2}+\vec{w_1}\times \vec{r_1}-\vec{w_2}\times \vec {r_2})\times \vec{\tau})$

Что такое sign? C английского переводится как "знак".

yourdomain.com