Движение электрона

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 03 янв 2016, 00:42

Задача такая: Электрон со скоростью v_0 влетает перпендикулярно силовым линиям однородного электрического поля Е, а также силовым линиям магнитного поля В. Найти уравнение движения электрона. Рисунок прилагается. Составил что-то вроде:
$-F_K+F_L*cos\alpha =0$
$ma_x=F_L*sin\alpha$
Скорости соответственно:
$v_x=v_0*cos\alpha$
$v_y=v_0*sin\alpha$
И как-то запутался с этими скоростями...Не пойму теперь, что мне надо проинтегрировать. Подскажите, пожалуйста!

Albe · Сообщение **Albe** » 03 янв 2016, 11:58

Судя по рисунку, электрон влетает не перпендикулярно электрическому полю, если я не ошибаюсь )

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 03 янв 2016, 14:27

Рисунок из книги. Я сам ничего не рисовал.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 03 янв 2016, 16:49

Рисунок дан для текущего, а не начального значения скорости.
Электрон влетел перпендикулярно оси ОУ, а делее силы Fк и Fл отклонили направление движения..
Конечно, лучше бы нарисовали электрон не в начале координат.
На рисунке вектор Е направлен вдоль ОУ, а В - "к нам", перпендикулярно чертежу.
Направления сил Fк и Fл даны с учетом заряда электрона, поэтому далее будет испольоваться его модуль.
Пишем 2 закон Ньютона в проекциях на оси.
$\displaystyle m\frac{dV_x}{dt}=F_L\sin\alpha=eVB\sin\alpha=-eBV_y$
$\displaystyle m\frac{dV_y}{dt}=F_L\cos\alpha-F_K=eVB\cos\alpha-eE=eBV_x-eE$
короче:
$\displaystyle m\frac{dV_x}{dt}=-eBV_y$
$\displaystyle m\frac{dV_y}{dt}=eBV_x-eE$
Получилась линейная система дифуров первого порядка относительно Vx и Vy.
А дальше руководство по решению таких систем в зубы и вперед с песней!
Не знаю, какой там вид получится у Vx(t) и Vy(t).
Желаю Вам, чтобы переменные разделились, и получились нормальные x(t) и y(t).

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 04 янв 2016, 06:34

В качестве разминки "отключите электричество":
$\displaystyle m\frac{dV_x}{dt}=-eBV_y$
$\displaystyle m\frac{dV_y}{dt}=eBV_x$
Разделив одно уравнение на другое, Вы получите после интегрирования
$$V_x^2+V_y^2=V_0^2$$

, откуда следует, что сила Лоренца не совершает работы, как и должно быть.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 04 янв 2016, 18:54

Выкладываю ответ. Мне он и на фиг не нужен, - порешал, размялся, и ладушки - а ТС, глядишь, и пригодится. Не пропадать же добру.
К тому же, может кто-то заметит лажу.
$\displaystyle x=\frac{m}{eB}\left(V_0-\frac{E}{B}\right)\sin\frac{eB}{m}t+\frac{E}{B}t$

$\displaystyle y=\frac{m}{eB}\left(V_0-\frac{E}{B}\right)\left(1-\cos\frac{eB}{m}t\right)$

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 05 янв 2016, 18:46

Большое спасибо, Григорий!
Я как-то запутался с этой начальной скоростью...Всё хотел куда-то ее впихнуть, а ведь она дана в качестве нижней границы интеграла, который там получится, так?
Я такие системы только начинаю сейчас изучать...А эта по какому принципу решается? Там подстановку какую-то надо сделать?

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 06 янв 2016, 01:13

Dr. Arrieta писал(а):Source of the post А эта по какому принципу решается?

Продифференцируйте второе уравнение по времени, выразите dVx/dt и подставьте в первое.
Получится дифур 2-го порядка, описывающий гармонические колебания величины Vy с частотой eB/m.

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 07 янв 2016, 15:45

У меня что-то не получается...Получилось:
$v_x=v_0*\cos \frac{eB}{m}t$
$v_y=v_0*\sin \frac{eB}{m}t$
Т.е. сначала:
$v_y=c_1*cos\frac{eB}{m}t+c_2*sin\frac{eB}{m}t$
$v_x=c_2*cos\frac{eB}{m}t-c_1*sin\frac{eB}{m}t$
Учитывая:
$$v_x(t=0)=v_0$$

Получается то, что в начале написал.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 07 янв 2016, 19:00

grigoriy писал(а):Source of the post Получится дифур 2-го порядка, описывающий гармонические колебания величины Vy с частотой eB/m.

Сразу пишете его решение (с учетом Voy=0):
$\displaystyle V_y=A\sin \frac{eB}{m}t$ (1)
Взяв от него производную, подставьте её во второе уравнение исходной системы:
$\displaystyle V_x=A\cos \frac{eB}{m}t+\frac{E}{B}$
Отсюда, из начальных условий, находится А=Vo-E/B.
После интегрирования, учитывая, что хо=0,
$\displaystyle x=\frac{Am}{eB}\sin \frac{eB}{m}t+\frac{E}{B}t$
После интегрирования (1) с учетом yo=0:
$\displaystyle y=\frac{Am}{eB}\left(1-\cos \frac{eB}{m}t\right)$

yourdomain.com