Составление диф.уравнений

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 22 янв 2015, 20:23

Есть задачи:
1. Последовательно соединены конденсатор, катушка, источник тока, сопротивление и диод (идеальный). Надо составить уравнение для силы тока в цепи и найти до какого максимального напряжения зарядится конденсатор.
Знаю, что задание довольно стандартное, но как-то не приходилось до этого особо сталкиваться, а если и сталкивался, то не было диода. Вот куда там его пристроить, я что-то не могу придумать...Нужна подсказка...
2. Диполь с магнитным моментом m находится в магнитном поле H. Коэффициент трения движения вращения диполя $\alpha$ . Написать уравнение для угла ориентации диполя в отношении магнитного поля, обезразмерить его и решить.
Вроде как:
$\theta '=\frac{mH}{\alpha }sin(\omega t-\theta )$
Правильно ли? И по поводу обезразмеривания...Получается, что коэффициент трения должен быть выражен в Н*м, чтобы всё там сократилось, но ведь он не имеет единиц измерения...А как тогда быть?
3. Тот же магнитный диполь в магнитном поле, только теперь оно вращается с угловой скоростью $\omega$ . Тот же коэффициент трения. Написать уравнение для угла фазы отставания диполя, найти среднюю угловую скорость диполя и период.
Тут вообще никаких идей нет.

SFResid · Сообщение **SFResid** » 22 янв 2015, 22:49

1. Про "источник тока", пж., подробнее. Буквально источник тока (т.е. задана именно величина тока), или всё же подразумевается источник напряжения. И какого, переменного, постоянного? И что значит "куда там его пристроить", если сказано "Последовательно соединены конденсатор, катушка, источник тока, сопротивление и диод". И конкретные цифры, пожалуйста.

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 23 янв 2015, 00:15

Про "пристроить" я имел в виду, как его вообще выразить, как обозначить в уравнении. Даны емкость С, индуктивность L...ну да, все же, наверное, подразумевается источник напряжения - дано просто значение ЭДС как Е, и сопротивление R.

SFResid · Сообщение **SFResid** » 23 янв 2015, 06:01

В установившемся режиме диод заперт, и ток не идёт. А для переходного процесса надо знать/задать начальные условия. См. учебники по ТОЭ.

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 23 янв 2015, 14:56

Диод идеальный - т.е. как там написано, подключив к нему напряжение в направлении запирающего слоя, ток не течет. А если в обратном направлении - течет.
Так я не понимаю, как его можно вписать в уравнение? Катушку как $L\frac{dI}{dt}$ , конденсатор как $\frac{q}{C}$ , сопротивление как $$IR$$

. А что, вписать в уравнение диод таким вот образом нет возможности? О начальных условиях я ничего не знаю - они не даны.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 23 янв 2015, 15:52

Dr. Arrieta писал(а):Source of the post Диод идеальный - т.е. как там написано, подключив к нему напряжение в направлении запирающего слоя, ток не течет. А если в обратном направлении - течет.
Так я не понимаю, как его можно вписать в уравнение?

Очень просто - Вы записываете уравнения как будто вместо диода просто проводник, но найдя решение, обрезаете его в точке, где направление тока становится противоположным для открытого диода.
А если очень хочется именно уравнение записать, то для диода:
$$U=ir(i)$$

, где r= 0 если $$i>0$$

и = бесконечности в иных случаях.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 23 янв 2015, 17:18

Если Вы приведёте как у Вас определяется "Коэффициент трения движения вращения диполя $\alpha$ .", то можно будет и ур. составить.

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 23 янв 2015, 21:15

Т.е. мне просто записать как 2 IR - один для диода, а другой для резистора?
$IR+IR+\frac{q}{C}=-L\frac{dI}{dt}$
Потом я нахожу I(t) и выбираю только положительные значения?
А по поводу коэффициента трения...там больше ничего не сказано - просто этот диполь вращается в магнитном поле, ну и естественно вращается не просто так, а с определенным трением, вот и коэффициент для того, чтобы его выразить, дан.

zam2 · Сообщение **zam2** » 23 янв 2015, 22:11

Зачем же два раза $$IR$$

? Диод идеальный. Если уж он пропускает ток, то его сопротивление равно нулю.
Я бы сразу так записал:
$e(t)=Ri(t)+L\frac{\mathrm{d }i(t) }{\mathrm{d} t}+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}i(t)dt$
откуда
$LC\frac{\mathrm{d^2}i(t) }{\mathrm{d} t^2}+RC\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t}+i(t)=0$
Получается диффуравнение второй степени. Его характеристическое уравнение может иметь действительные корни или комплексные. Первый случай неинтересен - монотонно возрастающий ток, диод не важен, Максимальное напряжение на конденсаторе равно Э.Д.С. Если корни комлексные (при малых $$R$$

), то затухающая синусоида. Примерно вот так. Красный график - ток, зеленый - напряжение на конденсаторе. Начальные условия считаются нулевыми.

Нижняя картинка - с учетом диода. Когда ток собирается стать отрицательным - диод запипается, все изменения заканчиваются.
Мне кажется, подбором параметров схемы можно добиться того, что напряжение на конденсаторе может быть в два раза больше Э.Д.С.

SFResid · Сообщение **SFResid** » 24 янв 2015, 02:26

zam2 писал(а):Source of the post Мне кажется, подбором параметров схемы можно добиться того, что напряжение на конденсаторе может быть в два раза больше Э.Д.С.

Так и есть - почти - если $R\ll \sqrt{\frac{L}{C}}$ - "критического" сопротивления.

yourdomain.com