две линейки в СТО

Bulatos · Сообщение **Bulatos** » 07 окт 2014, 06:20

Помогите понять. Только не отвечайте "это везде можно прочитать" или "искать нужно лучше". Все-таки проще ответить числами.
Две одинаковые линейки. Одна движется относительно другой. Пусть на рис. верхняя А, а нижняя - В. Часы на концах А синхронизированы в ИСО линейки А. Так же и часы В - в ИСО В. Момент встречи передних концов обеих линеек - 0 секунд. Мы наблюдаем из ИСО линейки В. Тогда линейка А видится укороченной. Тогда будут события, приведенные на рисунке. Расставьте, пожалуйста, числа-показания часов. В последнем изобржании, наверное, будет не 20с, но должны быть одинаковы у обоих часов в силу симметричности.

zam2 · Сообщение **zam2** » 07 окт 2014, 08:56

Bulatos писал(а):Source of the post Две одинаковые линейки. Одна движется относительно другой. Пусть на рис. верхняя А, а нижняя - В. Часы на концах А синхронизированы в ИСО линейки А. Так же и часы В - в ИСО В. Момент встречи передних концов обеих линеек - 0 секунд. Мы наблюдаем из ИСО линейки В. Тогда линейка А видится укороченной. Тогда будут события, приведенные на рисунке. Расставьте, пожалуйста, числа-показания часов. В последнем изобржании, наверное, будет не 20с, но должны быть одинаковы у обоих часов в силу симметричности.

Есть две линейки с собственной длиной $$L_0$$

каждая. Относительная скорость движения равна $$v$$

.
Пометим концы линеек буквами $$A_1,A_2,B_1,B_2$$

. Имеем 4 интересных события: встреча точек $$A_1$$

и

,

и

,

и

,

и

.
Лоренц-фактор равен: $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ .
Составим таблицу координат этих событий
$\begin{matrix} & A_1B_1 &A_1B_2 & A_2B_1 & A_2B_2\\ t_A & 0 & \frac{1}{\gamma }\frac{L_0}{v} & \frac{L_0}{v} &\left ( 1+\frac{1}{\gamma } \right )\frac{L_0}{v} \\ x_A & 0 &0 & L_0 &L_0 \\ t_B &0 &\frac{L_0}{v} & \frac{1}{\gamma }\frac{L_0}{v} &\left ( 1+\frac{1}{\gamma } \right )\frac{L_0}{v} \\ x_B & 0 & -L_0 &0 &-L_0 \end{matrix}$
Как видите, все симметрично.

Bulatos · Сообщение **Bulatos** » 07 окт 2014, 11:55

спасибо, все ясно.
Теперь про пространство Минковского. Там гиперболы какой смысл несут - равные промежутки времени (пространства) между соседними линиями? При любом направлении пересечения? Если да, то тогда близнец В после путешествия пересечет то же количество линий гипербол, что и близнец А на Земле. Одинаковое время получается. Понимаю, что что-то не понимаю.

zam2 · Сообщение **zam2** » 07 окт 2014, 13:56

Bulatos писал(а):Source of the post Теперь про пространство Минковского. Там гиперболы какой смысл несут - равные промежутки времени (пространства) между соседними линиями? При любом направлении пересечения? Если да, то тогда близнец В после путешествия пересечет то же количество линий гипербол, что и близнец А на Земле. Одинаковое время получается. Понимаю, что что-то не понимаю.

Вопрос не совсем ясен. Попробую угадать, что имеется в виду. Наверное, речь идет о диагаммах Минковского - попытке изобразить пространство Минковского на бумаге. Прмерно так:

В этом случае гиперболы (синие линии) - это геометрические места точек (событий), для которых интервал $$(s)$$

от начала координат имеет постоянное значение. А линии равных времен - это горизонтальные прямые. Все это к задаче о близнецах отношения не имеет (мне так кажется).

Bulatos · Сообщение **Bulatos** » 07 окт 2014, 14:15

Для геометра это имеет какой-то смысл. А для меня? Есть физический смысл, объясняемый словами? Это только для каких-то преобразований? Даже если и так, то для каких (физически)?
Насчет горизонтальных линий отметок времени - раз рисуем путь близнеца, то и время как-то должно отмечаться на этом пути. Иначе зачем это "пространство Минковского"?

zam2 · Сообщение **zam2** » 07 окт 2014, 15:18

Bulatos писал(а):Source of the post Для геометра это имеет какой-то смысл. А для меня? Есть физический смысл, объясняемый словами? Это только для каких-то преобразований? Даже если и так, то для каких (физически)? Насчет горизонтальных линий отметок времени - раз рисуем путь близнеца, то и время как-то должно отмечаться на этом пути.

В нулевых. Я ответил на тот вопрос, который вы задавали, или не угадал? Во-первых. СТО - это на 90 процентов кинематика (сиречь геометрия), причем элементарная. Там динамики (сиречь физики) кот наплакал.
Во вторых. Обьясните смысл слов "физический смысл".
В третьих. Естественный язык (русский, английский, китайский) очень часто недостаточен для рассказа о явлениях, которые выходят за рамки бытового опыта. Необходимо использование более мощного языка математики.
В четвертых. На диаграмме Минковского путь не рисуется. Это не карта. На ней рисуется мировая линия.

Bulatos писал(а):Source of the post Иначе зачем это "пространство Минковского"?

Пространство Минковского - на сегодняшний момент наиболее точное описание движения макроскопических тел (в условиях малой гравитации). Но, сдается мне, вы хотели спросить "Зачем диаграмма Минковского?". Диаграмма Минковского позволяет ответить на элементарные вопросы без утомительного выписывания формул (конечно, после некоторой тренировки).

Bulatos · Сообщение **Bulatos** » 07 окт 2014, 16:39

Вот-вот, наглядно, без формул. Поэтому и обратился к диаграммам Минковского. Да, мировая линия. Эта линия отражает путь и в пространстве, и во времени. Вот я и хочу увидеть метки времени. Все-таки рисуют ведь линию близнеца. Как нанести метки, по каким правилам? Чтобы увидеть, что у него часы отстанут?
Надо ли понимать, что оси Х (пространственная) и t (временная) линейны (равномерно размечены)? Можно ли тупо в таком случае нарисовать прямоугольную сетку? Тогда точно не увидим эффекты СТО? Вот я подозреваю, что в линиях гипербол нужно увидеть эти метки в мировых линиях. Только как? И как бы не сложна была математика, можно всегда пояснить, хотя бы на интуитивном уровне. В конце концов для любых математических выводов ищут соответствующие явления в реальности.

zam2 · Сообщение **zam2** » 07 окт 2014, 19:20

Bulatos писал(а):Source of the post Вот-вот, наглядно, без формул. Поэтому и обратился к диаграммам Минковского.

Эта диаграмма для задачи о близнецах где только ни нарисована. И я рисовал, только потерял. Будет нужно, повторю. Но вот, например, в вики: https://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E0%F0%E0%E4%EE%EA%F1_%E1%EB%E8%E7%ED%E5%F6%EE%E2 https://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E0%F0%E0%...%ED%E5%F6%EE%E2
И отдельно картинка оттуда.

А вот то же самое с англоязычного ресурса: http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_paradox http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_paradox.
Давайте вы почитаете, а останутся вопросы - будем разбираться.

Bulatos писал(а):Source of the post Да, мировая линия. Эта линия отражает путь и в пространстве, и во времени.

Не так. Мировая линия - биография объекта, изображение того, где и когда он был, есть и будет.

Bulatos писал(а):Source of the post Как нанести метки, по каким правилам? Чтобы увидеть, что у него часы отстанут?

По правилам преобразования Лоренца.

Bulatos писал(а):Source of the post Надо ли понимать, что оси Х (пространственная) и t (временная) линейны (равномерно размечены)?

Да. Это следует из однородности и изотропности пространства-времени. Грубо говоря из того, что метр он и в Африке метр, а секунда она и на Альфа Центавра секунда.

Bulatos писал(а):Source of the post Можно ли тупо в таком случае нарисовать прямоугольную сетку?

Для одной ИСО можно (и нужно). Но если мы на той же диаграмме захотим нарисовать сетку для другой ИСО, нам придется использовать косоугольную сетку (равномерную, но косоугольную).

Bulatos писал(а):Source of the post И как бы ни сложна была математика, можно всегда пояснить, хотя бы на интуитивном уровне.

Нет. Это заблуждение. Для специальной теории относительности (простейшего раздела физики) - это возможно. Для более продвинутых вещей невозможно - слов в естественном языке нет соответствующих, тем более и бытовая интуиция не работает.

Bulatos писал(а):Source of the post В конце концов для любых математических выводов ищут соответствующие явления в реальности.

Последние полтора века наоборот. Обнаружив в природе какое-то ранее неизвестное явление, ищут среди уже имеющихся математических достижений подходящий инструмент для его описания (иногда немного подрабатывают напильником по месту).

Bulatos · Сообщение **Bulatos** » 08 окт 2014, 08:24

Конечно, видел эти картинки, Вики читал, доклад Минковского читал (1908 года), конечно, далеко не все понял. Лекции какого-то профессора в Ютубе слушал.
А вот метки времени так и не могу расставить на мировой линии. Одни рисуют прямые (линия фотона) - это "одномомоментные метки", другие рисуют гиперболы, тоже в смысле одномоментности вроде. И в обоих случаях, надо понимать, правильно. И вы говорите, что прямоугольная сетка - тоже метки времени. Это уже третья точка зрения. И как мне все это объединить в голове?
Почему-то расстояние отлета-прилета на диаграмме Минковского ни у кого не вызывает вопросов, а время - ... Вернее даже, вообще никто такого вопроса не задает, типа, и так же ясно. Если время на диаграмме "кривое", то расстояние вроде тоже не так просто должно определяться. В общем, пока туман у меня в голове.

zam2 · Сообщение **zam2** » 08 окт 2014, 11:06

Bulatos писал(а):Source of the post А вот метки времени так и не могу расставить на мировой линии.

Давайте разберем, как на одной диаграмме изобразить системы координат для двух ИСО. С первой ИСО (назовем ее «красная») ясно:

Здесь изображены:
- горизонтальные прямые – линии одновременности, расположены через 1 секунду;
- вертикальные прямые – линии равного расстояния от начала координат – расположены через 300000 км;
- световой конус (желтый) – мировые линии сигнала от лампы-вспышки, сработавшей в момент времени $$t=0$$

в точке

;
- мировая линия тела, покоящегося в данной ИСО (черная вертикальная);
- мировая линия тела движущегося со скоростью $\frac{3}{5}c$ – по квадратикам можно проверит (черная наклонная).
Теперь мы хотим построить систему координат для ИСО, в которой второе тело покоится (назовем ее «зеленая»).
Ясно, что ось времени должна совпадать с черной наклонной линией (х-координата тела не должна зависеть от времени.). Далее. Мировая линия светового луча всегда должна быть биссектрисой угла между осью $$ct$$

и осью

(так как скорость света инвариантна). Отсюда естественно рисуется ось расстояний:

И вот теперь мы подошли к интересующему вас вопросу – как расставить метки времени.
Пусть в момент времени ${t}'=\frac{1}{c}$ в точке $${x}'=0$$

произошло некоторое событие. Изобразится это событие точкой на оси $$c{t}'$$

. Но где?
Вот здесь и нужны преобразования Лоренца:
$t=\frac{{t}'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ ct=\frac{c{t}'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{9}{25}}}=\frac{5}{4}$
И теперь мы можем нанести на диаграмму эту точку и построить сетку линий равных времен и равных расстояний:

Ну, где-то так.

yourdomain.com