угловая скорость шарика

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 18 дек 2012, 19:09

Здравствуйте. Задачка, вроде, простая. Но я сомневаюсь в правильности решения. Есть такая вот штука

По кривой без проскальзывания катится шарик. Кривая в это время вращается.
Угол поворота кривой определяется координатой $\theta$ . Форма кривой $\delta(\phi)$ задана в полярных координатах. Радиус шарика $$R$$

. Координата точки касания во вращающейся системе координат задаётся параметром $\phi$ . Нужно посчитать угловую скорость шарика и скорость поступательного движения.

Угловая скорость у меня получилась $\omega=\frac{\sqrt{\delta^{2}+\delta'^{2}}}{R}\dot{\phi}-\dot{\theta}$ ; Скорость поступательного движения в приближении, что $\theta - \phi$ мало получилась $\upsilon^{2}=\delta'^{2}\dot{\phi}^{2}+\delta^{2}\left(\dot{\phi}-\dot{\theta}\right)^{2}$ .

Верно?

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 19 дек 2012, 06:18

Вам нужно решить динамическую задачу или просто написать кинематическую связь?

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 19 дек 2012, 09:19

peregoudov писал(а):Source of the post
Вам нужно решить динамическую задачу или просто написать кинематическую связь?

И то и другое. Мне нужны уравнения Лагранжа первого и второго рода.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 19 дек 2012, 16:16

Тогда начнем со связи? Задача ведь плоская? Я предлагаю сначала рассмотреть неподвижную кривую, а переход во вращающуюся систему всегда успеем выполнить.

Проще всего, кажется, написать скорости, если кривая задана натуральным уравнением, за независимый параметр принимая длину кривой от фиксированной точки до точки касания шарика.

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 19 дек 2012, 16:44

peregoudov писал(а):Source of the post Тогда начнем со связи? Задача ведь плоская? Я предлагаю сначала рассмотреть неподвижную кривую, а переход во вращающуюся систему всегда успеем выполнить.

Да, задача плоская. Я так и делал.

peregoudov писал(а):Source of the post Проще всего, кажется, написать скорости, если кривая задана натуральным уравнением, за независимый параметр принимая длину кривой от фиксированной точки до точки касания шарика.

Нет, кривая не является натурально параметризованной. И там интегральчик довольно сложный вылазит.

Мне всё больше и больше кажется, что у меня ошибка. Приравняв скорости в точке касания я получил другое выражение для угловой скорости $\omega=-\left(\dot{\vartheta}+\frac{-2\delta'^{2}-\delta^{2}+\delta''\delta}{\delta^{2}+\delta'^{2}}\dot{\varphi}\right)\frac{\left(\delta'\sin\varphi+\delta\cos\varphi\right)\sin\vartheta-\left(-\delta'\cos\varphi+\delta\sin\varphi\right)\cos\vartheta}{\left(-\delta'\cos\varphi+\delta\sin\varphi\right)\sin\vartheta+\left(\delta'\sin\varphi+\delta\cos\varphi\right)\cos\vartheta}$ .

Тут есть вторая производная, которая непременно должна вылезти. Видимо, предыдущий результат неверен.

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 19 дек 2012, 18:21

Если кривая неподвижна, то получается примерно такая картинка

$\zeta$ - угол наклона касательной в точке соприкосновения с шариком, $d\alpha$ - угол поворота шарика при перемещении его на $d \varphi$ . Как видно, шарик повернётся на

$d\alpha = \frac{dl}{R} - d\zeta$ , и
$\zeta\left(\varphi\right)=-\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{\delta'\sin\varphi+\delta\cos\varphi}{-\delta'\cos\varphi+\delta\sin\varphi}$

при $\vartheta = 0$ . Угловая скорость, нетрудно видеть, будет равна $\omega = \frac{d\alpha}{dt}$ или $\omega = \frac{\sqrt{\delta^{2}+\delta'^{2}}}{R}\dot{\varphi} - \dot{\zeta}$ . Дифференцируем $\zeta$ .

$\omega=\frac{\sqrt{\delta^{2}+\delta'^{2}}}{R}\dot{\varphi}-\zeta'\dot{\varphi} = \left(\frac{\sqrt{\delta^{2}+\delta'^{2}}}{R}-\frac{-2\delta'^{2}-\delta^{2}+\delta''\delta}{\delta^{2}+\delta'^{2}}\right)\dot{\varphi}$

Осталось раскрутить кривую...

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 19 дек 2012, 19:35

Если вы хотите в своих переменных считать, могу предложить следующее. Сначала считаем кривую неподвижной. Радиус-вектор точки касания шарика ${\bf r}=r(\phi){\bf e}_r$ . Дифференцируя, находим единичный вектор касательной

$\displaystyle \boldsymbol\tau=\frac{r'{\bf e}_r+r{\bf e}_\phi}{\sqrt{r^2+r^{\prime2}}}$

и нормали

$\displaystyle {\bf n}=\frac{-r'{\bf e}_\phi+r{\bf e}_r}{\sqrt{r^2+r^{\prime2}}}$

к кривой. Здесь ${\bf e}_{r,\phi}$ --- единичные орты полярной системы координат, причем ${\bf e}_r'={\bf e}_\phi$ , ${\bf e}_\phi'=-{\bf e}_r$ . Теперь радиус-вектор центра шарика записывается в виде

$\displaystyle {\bf r}_c={\bf r}+{\bf n}R=r{\bf e}_r+\frac{-r'{\bf e}_\phi+r{\bf e}_r}{\sqrt{r^2+r^{\prime2}}}R.$

Дифференцированием можно получить скорость. Угол поворота шарика равен

$\displaystyle \Omega=\frac sR+\phi-\arctg\frac{r'}r.$

Здесь первое слагаемое учитывает перекатывание шарика, второе --- поворот радиус-вектора ${\bf r}$ , а третье --- дополнительный поворот нормали ${\bf n}$ . Длина дуги кривой

$\displaystyle s=\int\sqrt{r^2+r^{\prime2}}\,d\phi.$

Отсюда дифференцированием получается угловая скорость.

Если сама кривая вращается с угловой скоростью $\dot\theta$ , то к скорости центра масс прибавляется $\dot\theta{\bf e}_z\times{\bf r}_c$ (векторное произведение сводится к замене ${\bf e}_r$ на ${\bf e}_\phi$ и ${\bf e}_\phi$ на $-{\bf e}_r$ в ${\bf r}_c$ ) да еще потом полученная скорость поворачивается на угол $\theta$ , а к угловой скорости --- $\dot\theta$ . Вроде остается аккуратно продифференцировать...

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 20 дек 2012, 11:15

peregoudov, спасибо за помощь. Если уйти от полярных координат, правильно ли я понимаю, что угловая скорость шарика в случае неподвижной кривой будет суммой двух величин:

1. угловой скорости, определяемой длиной дуги, которую проехал шарик $\omega_1 = \frac{1}{R}\frac{ds}{dt} = \frac{1}{R}\frac{d \int \sqrt{r^2+r'^2} d\phi}{dt} = ...$
2. угловой скорости вращения касательной с обратным знаком.

3. В случае вращения кривой добавится ещё угловая скорость вращения штрихованной системы координат.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 20 дек 2012, 13:00

Да, просто у меня в формуле ваш пункт 2 представлен как сумма полярного угла и дополнительного угла поворота нормали (или касательной, это одно и то же) по отношению к радиус-вектору. Ну как бы первый член имеет место даже для качения по прямой, второй --- по окружности (нормаль всегда по радиус-вектору), а третий возникает при вариации радиуса.

Если по моей формуле считать, то для угловой скорости получается такой же результат, как у вас в сообщении #6.

yourdomain.com