Здравствуйте. При решении одной задачи наткнулся на весьма неприятную вещь. В ДУ второго порядка коэффициент при второй производной в некоторых точках обращается в ноль. Почему так происходит мне не совсем ясно, мне не ясен физический смысл.
Я не могу привести задачу целиком, т.к. только постановка займёт пару страниц. Приведу упрощённую задачу.
Есть материальная точка, которая скользит без трения по плоской кривой. Пусть форма кривой задана в полярных координатах
. Кривая может вращаться вокруг начала координат, пусть угол поворота относительно неподвижной системы координат задан координатой
. Угол
определяет положение материальной точки на кривой. К оси вращения приложен момент силы
. Мы хотим вращать кривую так, чтобы между обобщёнными координатами
и
данной системы выполнялось определённое геометрическое соотношение
(т.н. виртуальная голономная связь).
Как оказалось, ограничение на функцию
весьма существенны. Например, если я задаю функцию
так, чтобы угол наклона касательной к кривой в точке с координатой
был равен определённой константе, то я получаю дифур (уравнения Лагранжа в силу выбранной виртуальной связи дают систему из двух линейно зависимых дифуров), у которого коэффициент при второй производной в некоторых точках обращается в ноль. Откуда берутся эти нули не совсем ясно. Значит ли это, что такая траектория нереализуема для данной механической системы?
На самом деле, если рассматривать уравнения Лагранжа первого рода для данной механической системы, то ситуация немного проясняется. Получается, что на материальную точку действует сила реакции опоры, которая в некоторых точках траектории равна
, в итоге получаем что-то в духе
, где
. Это, судя по всему, вылазят ограничения выбранных модельных приближений...