Формула Прандтля-Бетца

Станислав

На время я перестал заниматься этими вычислениями, но вернулся к ним.
Для начала, я занялся вычислением сопротивления и ламинарного обтекания полубесконечной пластинки по Блазиусу. Как известно, в этом случае коэффициент полного сопротивления одной стороны пластинки выражается через число Рейнольдса:

$C_f=\frac {0,664} {\sqrt{Re_L}},$

где

$Re_L=\frac {U_{\infty}L} {\nu}$ - число Рейнольдса по длине пластинки и скорости внешнего потока.

Со своей стороны, я расположил ряд стоков с равным шагом по положительной полуоси $$Ox$$

и рассчитывал их вызванные скорости в точках, лежащих на той же оси посередине между стоками. Первая расчетная точка расположена вниз по потоку от первого стока.
Вызванные скорости стока определяются выражением:

$dw_{AB} = \frac {dQ_A = \sigma_A dx_A} {2 \pi R_{AB}},$

в котором

$dw_{AB}$ - скорость, вызванная элементарным стоком из точки $$A$$

в точке

;

- интенсивность этого стока;
$\sigma_A$ - поверхностная плотность стоков в точке $$A$$

;
$R_{AB}$ - расстояние по пластинке между точками $$A$$

и

.

На основе условия прилипания потока к пластинке, я составил систему линейных уравнений и определил по ней интенсивности стоков; отсюда, после нескольких проб, получил следующее выражение для коэффициента полного сопротивления:

$C_f=\frac {\int_{(L)}{(U_\infty+\frac{1}{4}|\epsilon|)|\epsilon| dx}} {\sqrt{Re_L} U^2_\infty L},$

где

$\epsilon=\frac{\sigma}{2 \pi},$ , $\sigma$ - поверхностная плотность стоков.

По мере увеличения числа дискретных стоков, а также при выбрасывании из расчета небольшого хвостового участка сетки, результат стремится к вычислению по формуле Блазиуса. Например, я взял 50 взаимодействующих дискретных стоков и расчетный участок, охватывающий 50 из них, и получил погрешность 2,17 %, независимо от числа Рейнольдса.
Расчетное выражение можно привести к более понятному виду, если учесть, что объемный расход

$\Delta Q_i$ для $$i$$

-го стока связан со скоростью $\Delta w_i$ ,

вызванной им в ближайшей расчетной точке слева:

$\Delta w_{i} \pi \Delta x = \Delta Q_i = \sigma_i \Delta x,$

где

$\Delta x$ - шаг цепочки стоков (и расчетных точек).

Отсюда

$\Delta w_{i} = \frac {\sigma}{\pi}.$

Так что расчетное выражение для коэффициента сопротивления получает следующий вид:

$C_f = \frac {2\sum_{(L)}{(U_\infty+\frac{1}{8}\Delta w_{i})\frac{1}{8}\Delta w_{i} dx}} {\sqrt{Re_L} \frac { U^2_\infty}{2} L}$

Здесь все скоростные величины можно отнести к скорости внешнего потока, а линейные - к длине участка пластинки $$L$$

(относительные величины указаны тильдой сверху); тогда получим:

$C_f = \frac {4\sum_{(L)}{(1+\frac{1}{8}\tilde{\Delta w_{i}})\frac{1}{8}\tilde{\Delta w_{i}} d\tilde{x}}} {\sqrt{Re_L} }$

Таким образом, если сравнить выражение Блазиуса и полученное, то видно, что при измельчении шага цепочки стоков числитель моего выражения имеет предел:

$4\sum_{(L)}{(1+\frac{1}{8}\tilde{\Delta w_{i}})\frac{1}{8}\tilde{\Delta w_{i}} d\tilde{x}} \to 0,664$

В книге "Ламинарный пограничный слой" Л.Г. Лойцянского (М., 1962) приведен ход решения Блазиуса, из которого следует, что

$0,664 = 2 \cdot 0,332 = 2 \cdot \phi^\prime^\prime (0),$

где

$\phi (\eta)$ - значение функции тока $\psi$ ,
отнесенное к $\sqrt{\nu U_\infty x}$ и зависящее от безразмерной ординаты:

$\eta = {y}{\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}}$ .

Станислав

Мне показалось любопытным проверить полученную формулу на примере крыла бесконечного размаха. Для простоты, была взята плоская пластинка, то есть профиль крыла представлял собой отрезок варьируемой длины.
Расчет велся в прямоугольной системе координат, связанной с пластинкой: ось $$Ox$$

направлена от входящей кромки вдоль хорды пластинки, ось $$Oy$$

направлена вверх.

При различных углах атаки я вычислил коэффициенты нормальной и касательной сил $$C_n$$

и

, по которым определил коэффициенты подъемной силы и лобового сопротивления пластинки, и по ним, наконец, построил полярную диаграмму $C_x \sim C_y$ .

Расчет проходил в следующем порядке.

1. Коэффициент нормальной силы $$N$$

Эта сила на пластинке вычислялась по вихревой теории, согласно которой результирующая сил давления на поверхность $$S$$

равна

$N = \int_{S} {\rho V_t d\Gamma},$

где результирующая касательная скорость в точке $$P$$

поверхности $$S$$

равна

$V_{t+} = U_t + w_{t (S)} + \frac {\gamma}{2}$

при подходе сверху,

$V_{t-}= U_t + w_{t (S)} - \frac {\gamma}{2}$

при подходе снизу,

$V_{t 0} = U_t + w_{t (S)}$

собственно на поверхности.

Здесь
$$U_t$$

- касательная составляющая скорости невозмущенного потока,
$w_{t (S)}$ - касательная составляющая скорости, вызванной всей вихревой поверхностью в точке $$P$$

,
$\gamma = \frac {d\Gamma}{dx}$ - линейная плотность интенсивности вихревой поверхности в данной точке с абсциссой $$x$$

.

Для пластинки составляющая $w_{t (S)}=0$ .
Интенсивность вихревой поверхности определена из граничного условия непротекания:

$U_n + \int_{S} {dw_n} = U_n + \int_{P \in S} {\frac{d\Gamma}{2\pi}\frac{1}{x-x_P}}=0,$

для чего решена система линейных уравнений вида

$\int_{i, j \in M_S} {\frac{\Delta \Gamma_i}{2\pi}\frac{1}{x_j-x_i}}=-U_{n(j)},$ \

где $$i$$

- точки расположения вихрей, $$j$$

- точки расчета граничных условий, $$M_S$$

- количество дискретных вихрей на пластинке (т. е. на отрезке, представляющем ее профиль).

Из указанной системы уравнений были найдены величины $\Delta \Gamma_i$ , а по ним найдены распределения скоростей $V_{t+}$ и $V_{t-}$ по верхней и нижней поверхностям пластинки.
После этого была рассчитана суммарная сила трения отдельно на каждой поверхности пластинки по формуле

$T = \frac {1}{\sqrt{Re_L}} \int_{S} {\rho (V_t +\frac {1}{8} \frac {\sigma_i}{\pi})\frac {1}{4} \frac {\sigma_i}{\pi}} \frac {dx}{\sqrt{Re_L}}.$

При угле атаки $\alpha$ , компоненты скорости невозмущенного потока равны

$U_n = U_\infty \sin \alpha$

$U_t = U_\infty \cos \alpha$

Подъемная сила и сила сопротивления профиля при этом равны

$Y = N \cos \alpha - T \sin \alpha,$

$X = N\sin \alpha + T \cos \alpha.$

Соответственно, Коэффициенты этих сил равны

$C_y = \frac {2 Y}{\rho U^2_\infty L},$

$C_x = \frac {2 X}{\rho U^2_\infty L}.$

Для загрузки рисунка (в формате .bmp) с полярной диаграммой у меня нет прав.

yourdomain.com