Операции над векторными и скалярными полями.

metoflex · Сообщение **metoflex** » 17 ноя 2011, 09:14

Приветствую, Уважаемые форумчане!

Туго запоминаются сложные операции над полями, типа:

$rot rot \vec{F} = grad (div \vec{F}) -\triangle\vec{F}$

и т.д.

Впорос вот в чем. Как запомнить подобные сложные операции, основываясь чисто на логике, а не на зубрежке? Как их запоминали Вы?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 17 ноя 2011, 10:12

Можно чисто на эмоциях - сделать татуировку:

kid · Сообщение **kid** » 17 ноя 2011, 13:03

metoflex еще Фейнман говорил "What I cannot create, I do not understand". Если вы способны вывести данное тождество меньше, чем за 1 мин, тогда его незачем зубрить.

metoflex · Сообщение **metoflex** » 18 ноя 2011, 10:13

kid писал(а):Source of the post
metoflex еще Фейнман говорил "What I cannot create, I do not understand". Если вы способны вывести данное тождество меньше, чем за 1 мин, тогда его незачем зубрить.

вывести его можно, используя набла. Но меня больше интересует не то за сколько Я могу его вывести, меня больше интересует как ВЫ уважаемые форумчане скажем пишете, что:

$div(grad\vec{F}) = \triangle F$

Как ВЫ это запомнили? На чем основываетесь, когда записываете данное тождество? Больше всего интересно какой логической цепочкой вы разворачиваете левую часть уравнения, для преобразования ее к правой?

ALEX165 писал(а):Source of the post
Можно чисто на эмоциях - сделать татуировку:

Тупая шутка, плюс ко всему еще и оффтоп. ИМХО.

kid · Сообщение **kid** » 19 ноя 2011, 10:28

metoflex писал(а):Source of the post Как ВЫ это запомнили?

Лично я это тождество запомнил потому, что оно всплывает при выводе основного уравнения динамической теории дифракции. Но Вы поймите, что в физике никто не запоминает кучу тождеств (заметьте, не формул и законов, а математических тождеств) просто потому, что они "где-то там" используются. Обычно если нужно что-то преобразовать в полученном выражении --- пожалуйста, вывел себе за 30 секунд что тебе нужно и не мучаешься. Причем, все выводят по-своему, как им удобнее и быстрее. Например, я навскидку знаю минимум три вывода этой формулы (и ей аналогичных). Это все приходит с опытом, когда у вас на бумажке и в голове не только тождества векторного анализа, но еще и соответствующие физические ситуации, где эти тождества всплывают, что помогает их запоминать.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 19 ноя 2011, 11:33

Исходная постановка вопроса поставила меня в тупик. Не понимаю, какие могут быть проблемы у человека, выучившего такую сложнейшую вещь как таблица умножения... :blink:

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 19 ноя 2011, 14:14

К векторному анализу есть два подхода: 1) через оператор набла, частичное дифференцирование и векторную алгебру; 2) через тензорные обозначения.

В первом подходе вводится векторный дифференциальный оператор $\nabla$ . Пока вы дифференцируете только одну функцию, с ним можно обращаться по правилам векторной алгебры, например
$\displaystyle \rot\rot{\bf F}=\nabla\times(\nabla\times{\bf F})= \nabla(\nabla{\bf F})-(\nabla\nabla){\bf F}=\grad\div{\bf F}-\Delta{\bf F}.$
Здесь я применил правило "бац минус цаб" для двойного векторного произведения. Нужно только всегда записывать наблы слева от дифференцируемой функции

, ну, это несложно.

Если же нужно продифференцировать произведение, то нужно сперва вспомнить, что $\nabla$ --- дифференциальный оператор, действующий по правилу Лейбница. Удобно записать формулу, явно помечая те множители, который дифференцируются, например
$\displaystyle \div({\bf E}\times{\bf H})=\nabla({\bf E}'\times{\bf H})+\nabla({\bf E}\times{\bf H}').$
Тут я пометил штрихом, что в первом слагаемом дифференцируется только ${\bf E}$ , а во втором --- только ${\bf H}$ . Теперь задача сводится к уже рассмотренной выше, применяя векторную алгебру
$\displaystyle \div({\bf E}\times{\bf H})={\bf H}(\nabla\times{\bf E})-{\bf E}(\nabla\times{\bf H}).$
Опять-таки следим, чтобы справа от оператора стояла дифференцируемая функция и не стояла не дифференцируемая.

Подход с тензорными обозначениями основывается на введении компонент $\partial_k$ оператора $\nabla$ , переписывании основных операций в виде
$\displaystyle (\grad\phi)_k=\partial_k\phi,\quad \div{\bf E}=\partial_kE_k,\quad (\rot{\bf H})_k=\varepsilon_{klm}\partial_lH_m$
и дальнейшем оперировании с компонентами как со скалярными выражениями. Результат снова переписывается в векторных обозначениях. Мне такой метод нравится больше, так как он более мощный и прямой: там, где в первом подходе надо выкручиваться, например, домножая на "произвольный постоянный вектор", в тензорных обозначениях все делается проще и напрямую.

Формулы векторного анализа я не запоминаю, а "вывожу в уме", когда понадобятся. Если же в уме не получается, не зазорно и в справочник заглянуть.

metoflex писал(а):Source of the post как ВЫ уважаемые форумчане скажем пишете, что:

$\displaystyle div(grad\vec{F}) = \triangle F$

Как ВЫ это запомнили? На чем основываетесь, когда записываете данное тождество? Больше всего интересно какой логической цепочкой вы разворачиваете левую часть уравнения, для преобразования ее к правой?

Ну, это просто неправильно.

metoflex · Сообщение **metoflex** » 19 ноя 2011, 23:11

peregoudov писал(а):Source of the post
К векторному анализу есть два подхода: 1) через оператор набла, частичное дифференцирование и векторную алгебру; 2) через тензорные обозначения.

В первом подходе вводится векторный дифференциальный оператор $\nabla$ . Пока вы дифференцируете только одну функцию, с ним можно обращаться по правилам векторной алгебры, например
$\displaystyle \rot\rot{\bf F}=\nabla\times(\nabla\times{\bf F})= \nabla(\nabla{\bf F})-(\nabla\nabla){\bf F}=\grad\div{\bf F}-\Delta{\bf F}.$
Здесь я применил правило "бац минус цаб" для двойного векторного произведения. Нужно только всегда записывать наблы слева от дифференцируемой функции , ну, это несложно.

Если же нужно продифференцировать произведение, то нужно сперва вспомнить, что $\nabla$ --- дифференциальный оператор, действующий по правилу Лейбница. Удобно записать формулу, явно помечая те множители, который дифференцируются, например
$\displaystyle \div({\bf E}\times{\bf H})=\nabla({\bf E}'\times{\bf H})+\nabla({\bf E}\times{\bf H}').$

Тут я пометил штрихом, что в первом слагаемом дифференцируется только ${\bf E}$ , а во втором --- только ${\bf H}$ . Теперь задача сводится к уже рассмотренной выше, применяя векторную алгебру
$\displaystyle \div({\bf E}\times{\bf H})={\bf H}(\nabla\times{\bf E})-{\bf E}(\nabla\times{\bf H}).$
Опять-таки следим, чтобы справа от оператора стояла дифференцируемая функция и не стояла не дифференцируемая.

Подход с тензорными обозначениями основывается на введении компонент $\partial_k$ оператора $\nabla$ , переписывании основных операций в виде
$\displaystyle (\grad\phi)_k=\partial_k\phi,\quad \div{\bf E}=\partial_kE_k,\quad (\rot{\bf H})_k=\varepsilon_{klm}\partial_lH_m$
и дальнейшем оперировании с компонентами как со скалярными выражениями. Результат снова переписывается в векторных обозначениях. Мне такой метод нравится больше, так как он более мощный и прямой: там, где в первом подходе надо выкручиваться, например, домножая на "произвольный постоянный вектор", в тензорных обозначениях все делается проще и напрямую.

Формулы векторного анализа я не запоминаю, а "вывожу в уме", когда понадобятся. Если же в уме не получается, не зазорно и в справочник заглянуть.

metoflex писал(а):Source of the post как ВЫ уважаемые форумчане скажем пишете, что:

$\displaystyle div(grad\vec{F}) = \triangle F$

Как ВЫ это запомнили? На чем основываетесь, когда записываете данное тождество? Больше всего интересно какой логической цепочкой вы разворачиваете левую часть уравнения, для преобразования ее к правой?
Ну, это просто неправильно.

Спасибо ОГРОМНОЕ! Про тензорные обозначения (применимо к данной области) вообще впервые услышал . Видно маловато еще на свете прожил. Спасибо еще раз за столь подробное рассмотрение;)

yourdomain.com