заочная олимпиада ФФКЭ

Doberman · Сообщение **Doberman** » 07 авг 2011, 21:11

4.Стеклянный полушар с радиусом R, массой m и коэффициентом преломления n, помещен над направленным вертикально вверх лазерным лучом с малой площадью сечения S, ось этого луча совпадает с осью симметрии полушара. Определите, какой должна быть мощность излучения N, чтобы полушар удерживался в воздухе?
8.Дан правильный многогранник с числом граней K (число ребер у
грани – N, длина ребра равна a . Поверхность многогранника
заряжена с постоянной поверхностной плотностью заряда V. Найти
силу F, действующую на одну грань со стороны остальных.
Интересуют две эти задачи, так как давно не смог их решить, а только сейчас вспомнил.

PacMan · Сообщение **PacMan** » 08 авг 2011, 08:24

4. По этой задаче есть такая мысль
Шар удерживается в воздухе засчет импульса, передаваемого ему со стороны отраженных фотонов. Следовательно, если мы знаем коэффициент отражения k, то общее количество отраженных фотонов от внутренней и от внешней границы будет приблизительно равно $$(2k-k^2)n$$

(не считая переотражений).
Тогда импульс, полученный полушаром, будет равен $4 \cdot (2k-k^2)n \cdot h \nu /c$ .
Силу, воздействующую на шар со стороны луча, определим как отношение импульса ко времени, за которое этот импульс был передан. А также заметим, что $n \cdot h \nu$ - это энергия луча, которая при делении на время дает мощность излучения.
$4 \cdot (2k-k^2) N/c = mg$
Осталось найти k для нашего шара.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 08 авг 2011, 09:40

Отражение - раз.
Преломление - два.
При выходе фотона (плоскость снизу) через сферическую поверхность он отклонится
и уменьшится вертикальная составляющая импульса.
При расчете отклонения синусы можно заменять на углы или тангенсы за счет малости S.
Потребуется проинтегрировать по кольцевым зонам сечения S.

Ian · Сообщение **Ian** » 08 авг 2011, 11:58

Doberman писал(а):Source of the post 8.Дан правильный многогранник с числом граней K (число ребер у
грани – N, длина ребра равна a . Поверхность многогранника
заряжена с постоянной поверхностной плотностью заряда V. Найти
силу F, действующую на одну грань со стороны остальных.
Интересуют две эти задачи, так как давно не смог их решить, а только сейчас вспомнил.

В задаче придется использовать, что существуют всего 5 правильных многогранников (платоновых тел),это есть даже в учебнике Киселева по геометрии:
Название ...K......N....... $\frac ah$ , $$h$$

-радиус вписанного шара
Тетраэдр...4.......3...... $2\sqrt 6$
Куб............6........4...... $$2$$

Октаэдр....8........3..... $\sqrt 2(1+\sqrt 3)$
Додекаэдр.12.......5..... $$<1$$

Икосаэдр....20.......3...... $$<<1$$

последние 2 дроби не считал, но уже написанное лишает надежды выразить эти дроби через N и K в общем виде. Задание заочное, и значит включает в себя несколько страниц исследования по стереометрии.
Площадь грани $S=N\frac{a^2}4\ctg\frac{\pi}n$
Пользуясь гармоничностью трехмерного $\frac 1{|\vec r|}$ (а школьнику чем?) и всякой симметрией, заменим грань на точечный заряд $$VS$$

на расстоянии $$h$$

от центра, а объединение остальных $$K-1$$

граней на точечный заряд $$(K-1)VS$$

на расстоянии $\frac h{K-1}$ от центра в противоположную сторону и считаем $$F$$

по формуле для точечных зарядов на расстоянии $r=h\frac{K}{K-1}$ . Туда и войдет эта дробь из таблицы, в квадрате. И ответ придется давать раздельный для 5 случаев.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 08 авг 2011, 12:34

grigoriy писал(а):Source of the post
При расчете отклонения синусы можно заменять на углы или тангенсы за счет малости S.

Собственно, это излишне. Изобретение велосипеда. Участок сферы в пределах светового пучка
можно рассматривать как тонкую плоско-выпуклую линзу с фокусным расстоянием F=R/n.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 08 авг 2011, 13:03

PacMan писал(а):Source of the post
Осталось найти k для нашего шара.

$\displaystyle k=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^2$

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 08 авг 2011, 14:34

Если ещё помелочиться, то отражение от внутренней поверхности нужно рассматривать
как отражение от сферического зеркала с фокусным расстоянием F=R/2.

Ian писал(а):Source of the post
(а школьнику чем?)

А школьная ли олимпиада? Что такое ФФКЭ?

Vladimir Dubrovskii

grigoriy писал(а):Source of the post
Что такое ФФКЭ?

Факультет физической и квантовой электроники

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 10 авг 2011, 17:50

Doberman, у вас что-нибудь получилось?
Учет преломления сводится к нахождению двух элементарных интегралов от выражений типа
$$xdx$$

и $\frac{dx}{\sqrt{x}}$ .
Больше достает учет целого роя мелочевки, липнущей к выражениям как мухи к меду.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 10 авг 2011, 18:38

Весточка от физика, забаненного ботаником.

8.Дан правильный многогранник с числом граней K (число ребер у
грани – N, длина ребра равна a . Поверхность многогранника
заряжена с постоянной поверхностной плотностью заряда V. Найти
силу F, действующую на одну грань со стороны остальных.[/quote] По теореме Гаусса:
$\int\limits_S \vec E\vec n ds=\frac{Q}{\epsilon_0}$ ,
где: S - вся поверхность многогранника, $\vec n$ - единичный вектор нормали грани, Q - полный заряд многогранника.
Поскольку, в силу симметрии, поле на всех гранях одинаково, то:
$\int\limits_S \vec E\vec n ds=N\int\limits_g \vec E\vec n ds$
g - площадь одной грани, по ней интегрируем, N - число граней.
Таким образом:
$\int\limits_g \vec E\vec n ds=\frac{Q}{N\epsilon_0}$
С другой стороны, сила, действующая на грань, опять же в силу симметрии, нормальна к ней и следовательно её можно записать в виде:
$F=\int\limits_g \vec E\vec n\sigma ds=\sigma\int\limits_S \vec E\vec n ds$ ,
$\sigma=\frac{Q}{S}$ - поверх. плотн. заряда.
таким образом:
$F=\frac{\sigma Q}{N\epsilon_0}=\frac{\sigma^2}{\epsilon_0}g$ ,
g - площадь грани.
Значит для тетраэдра, октаэдра и икосаэдра:
$F=\frac{\sigma^2}{\epsilon_0}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ,
для куба:
$F=\frac{\sigma^2}{\epsilon_0}a^2$ ,
для додекаэдра:
$F=\frac{\sigma^2}{\epsilon_0}\frac{5a^2}{4}ctg(\frac{\pi}{5})$ ,
этот котангенс вообще через $\sqrt{5}$ выражается.

yourdomain.com