угловая скорость стержня

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 28 июл 2011, 09:20

А где Вы такой термин нашли, я пролистал курсы механики, не нашёл такого. Быть может, имеются ввиду углы Эйлера и ориентированная по ним система координат?

uxx · Сообщение **uxx** » 28 июл 2011, 10:36

Wild Bill писал(а):Source of the post А где Вы такой термин нашли, я пролистал курсы механики, не нашёл такого. Быть может, имеются ввиду углы Эйлера и ориентированная по ним система координат?

Нет, ошибся с термином: не "собственная", а связанная система координат.

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 28 июл 2011, 10:45

Тогда точно система координат, ориентированная по углам Эйлера.

uxx · Сообщение **uxx** » 28 июл 2011, 10:49

Wild Bill писал(а):Source of the post Тогда точно система координат, ориентированная по углам Эйлера.

Почему обязательно по углам Эйлера? Просто привязанная к телу, как я понимаю. Ориентация можно задавать ещё кучей различных способов: углы Крылова, параметры Родрига-Гамильтона, параметры Кэли-Клейна и пр.

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 28 июл 2011, 11:00

Можно и по другому привязать, просто в физике-механике это более часто встречается.

uxx · Сообщение **uxx** » 28 июл 2011, 11:50

Wild Bill, всё-таки я не понимаю, как быть со скоростью в связанной СК? Почему рассуждения оказываются неверны?

В связанной СК стержень в некоторый момент $$t$$

имеет координаты $\alpha = 0, \beta = 0$ . Через время $$d t$$

он попорачивается на угол $d\alpha$ вокруг $\vec{i_3}$ и на угол $d\beta$ вокруг $(\sin d\alpha, -\cos d\alpha, 0)$ . Получаем:

1. $dr_{\alpha}=\vec{d\alpha}\times r=d\alpha\left[l_{\alpha}\times r\right]=d\alpha\left[i_{3}\times r\right]$

2. $dr_{\beta}=\vec{d\beta}\times\left(r+dr_{\alpha}\right)=d\beta\left[l_{\beta}\times\left(r+dr_{\alpha}\right)\right]=d\beta\left[\left(\sin d\alpha,-\cos d\alpha,0\right)\times\left(r+dr_{\alpha}\right)\right]\approx-d\beta\left[i_{2}\times r\right]$ (пренебрегли слагаемыми второго порядка малости)

3. $dr=dr_{\alpha}+dr_{\beta}=d\alpha\left[i_{3}\times r\right]-d\beta\left[i_{2}\times r\right]=\left[\left(d\alpha i_{3}-d\beta i_{2}\right)\times r\right]$

4. $dr=\vec{d\phi}\times r=d\phi\left[l_{\phi}\times r\right]$

Выражаем $d\phi\left[l_{\phi}\times r\right]=\left[\left(d\alpha i_{3}-d\beta i_{2}\right)\times r\right]\Rightarrow d\phi l_{\phi}=d\alpha i_{3}-d\beta i_{2}$

Получаем выражение для угловой скорости в связанной СК:
$\omega=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\phi}{\Delta t}l_{\phi}=\frac{d\phi}{dt}l_{\phi}=\frac{d\alpha}{dt}i_{3}-\frac{d\beta}{dt}i_{2}=\dot{\alpha}i_{3}-\dot{\beta}i_{2}=\left(\begin{array}{c} 0\\ -\dot{\beta}\\ \dot{\alpha}\end{array}\right)$

В чём ошибка?

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 29 июл 2011, 15:26

Я не забыл, считаю...

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 02 авг 2011, 14:08

Да, пытаюсь и сам разобраться...

Рубен · Сообщение **Рубен** » 02 авг 2011, 19:57

uxx писал(а):Source of the post . Но мне не понятно - как математически получить выражение для $\omega$ ?

Из Вашей же формулы, если я не ошибаюсь, по правилу векторного деления:

$\displaystyle \mathbf{\omega}= \frac {\mathbf{[r,\dot{r}]}} {\mathbf{(r,r)}}$

Однако, на сколько я помню (поправьте меня), векторное деление -- операция не однозначная, т.е. она дает множество векторов угловых скоростей.

uxx · Сообщение **uxx** » 02 авг 2011, 20:09

Кажется, я понял в чём косяк. Неправильно вектора спроецировал.
Итак, картинка:

И проекции векторов $$r$$

и

:
$dr=\left[\begin{array}{c} -d\alpha r\cos\beta\sin\alpha-d\beta r\sin\beta\cos\alpha\\ d\alpha r\cos\beta\cos\alpha-d\beta r\sin\beta\sin\alpha\\ d\beta r\cos\beta\end{array}\right]$
$r=\left[\begin{array}{c} r\cos\beta\cos\alpha\\ r\cos\beta\sin\alpha\\ r\sin\beta\end{array}\right]$

теперь ищем вектор $$l$$

соответствующий повороту из $$r$$

в

. Он должен быть ортогонален векторам $$r$$

и

и он должен быть единичным. То есть его можно найти как векторное произведение $l=\frac{r\times dr}{\left|r\right|\left|dr\right|}$ .

осталось найти угол поворота из $$r$$

в

. Его ищем тоже через векторное произведение $\varphi=\frac{\left|r\times\left(r+dr\right)\right|}{\left|r+dr\right|\left|r\right|}=\frac{\left|r\times dr\right|}{r^{2}}$ .

В итоге получается:
$l=\left[\begin{array}{c} -\frac{\sin\beta d\alpha\cos\beta\cos\alpha-d\beta\sin\alpha}{\sqrt{d\alpha^{2}\cos^{2}\beta+d\beta^{2}}}\\ -\frac{\sin\beta d\alpha\cos\beta\sin\alpha+d\beta\cos\alpha}{\sqrt{d\alpha^{2}\cos^{2}\beta+d\beta^{2}}}\\ \frac{\cos^{2}\beta d\alpha}{\sqrt{d\alpha^{2}\cos^{2}\beta+d\beta^{2}}}\end{array}\right]$

$\varphi=\sqrt{d\alpha^{2}\cos^{2}\beta+d\beta^{2}}$ .

и угловая скорость:
$\omega=\left[\begin{array}{c} -\sin\beta\dot{\alpha}\cos\beta\cos\alpha+\dot{\beta}\sin\alpha\\ -\sin\beta\dot{\alpha}\cos\beta\sin\alpha-\dot{\beta}\cos\alpha\\ \cos^{2}\beta\dot{\alpha}\end{array}\right]$

У меня угол $\beta$ отсчитывается в отрицательную сторону. Можно поправить, всюду сменив знак у $\beta$ . Осталось выполнить преобразование координат из неподвижной СК в связанную и сравнить результаты.

yourdomain.com