persalena, сформулируйте задачу яснее.
имеется ввиду четыре прямолинейных бесконечных тока вдоль оси
![$$z$$ $$z$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24z%24%24)
? Какой ток несет каждый из них? Как они расположены друг относительно друга? На каком расстоянии от проводов находится красная точка?
Я покажу как делать для одного прямолинейного бесконечного провода, простирающегося вдоль оси
![$$z$$ $$z$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24z%24%24)
и несущего ток
![$$I$$ $$I$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24I%24%24)
. Поле такого провода известно:
![$$\displaystyle \mathbf{B}(s)= \frac{\mu_0 I}{2 \pi s} \hat{\mathbf{\varphi}}$$ $$\displaystyle \mathbf{B}(s)= \frac{\mu_0 I}{2 \pi s} \hat{\mathbf{\varphi}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%5Cmathbf%7BB%7D%28s%29%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu_0%20I%7D%7B2%20%5Cpi%20s%7D%20%5Chat%7B%5Cmathbf%7B%5Cvarphi%7D%7D%24%24)
я использую цилиндрические координаты
![$$s, \varphi, z$$ $$s, \varphi, z$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24s%2C%20%5Cvarphi%2C%20z%24%24)
,
![$$s$$ $$s$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24s%24%24)
--- расстояние от провода. Шляпки над векторами обозначают единичные вектора вдоль соответствующих направлений.
Задача по сути шиворот-навыворот: зная
![$$\mathbf{B}$$ $$\mathbf{B}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmathbf%7BB%7D%24%24)
найти
![$$\mathbf{A}$$ $$\mathbf{A}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%24)
. К сожалению, прямым решением уравнения
![$$\Delta \mathbf{A} = - \mu_0 \mathbf{J}$$ $$\Delta \mathbf{A} = - \mu_0 \mathbf{J}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CDelta%20%5Cmathbf%7BA%7D%20%3D%20-%20%5Cmu_0%20%5Cmathbf%7BJ%7D%24%24)
в виде
![$$\displaystyle \mathbf{A(r)} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{ \mathbf{J(r')}}{|\mathbf{r-r'}|}dV'$$ $$\displaystyle \mathbf{A(r)} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{ \mathbf{J(r')}}{|\mathbf{r-r'}|}dV'$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%5Cmathbf%7BA%28r%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu_0%7D%7B4%20%5Cpi%7D%20%5Cint%20%5Cfrac%7B%20%5Cmathbf%7BJ%28r%26%2339%3B%29%7D%7D%7B%7C%5Cmathbf%7Br-r%26%2339%3B%7D%7C%7DdV%26%2339%3B%24%24)
,
пользоваться нельзя, поскольку токи простираются до бесконечности. Поэтому нужно поступать хитрее. А именно, нужно вспомнить/прочитать/осознать, что
![$$\mathbf{A}$$ $$\mathbf{A}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmathbf%7BA%7D%24%24)
"повторяет" поведение тока. В случае прямолинейного тока он просто сонаправлен с ним (попробуйте сами понять почему). Поэтому,
![$$\mathbf{A} = A(s) \hat{\mathbf{z}}$$ $$\mathbf{A} = A(s) \hat{\mathbf{z}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmathbf%7BA%7D%20%3D%20A%28s%29%20%5Chat%7B%5Cmathbf%7Bz%7D%7D%24%24)
![$$\displaystyle \mathbf{B}= \nabla \times \mathbf{A} = -\frac{\partial A}{\partial s} \hat{\mathbf{\varphi}} \equiv \frac{\mu_0 I}{2 \pi s} \hat{\mathbf{\varphi}} $$ $$\displaystyle \mathbf{B}= \nabla \times \mathbf{A} = -\frac{\partial A}{\partial s} \hat{\mathbf{\varphi}} \equiv \frac{\mu_0 I}{2 \pi s} \hat{\mathbf{\varphi}} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%5Cmathbf%7BB%7D%3D%20%5Cnabla%20%5Ctimes%20%5Cmathbf%7BA%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A%7D%7B%5Cpartial%20s%7D%20%5Chat%7B%5Cmathbf%7B%5Cvarphi%7D%7D%20%5Cequiv%20%5Cfrac%7B%5Cmu_0%20I%7D%7B2%20%5Cpi%20s%7D%20%5Chat%7B%5Cmathbf%7B%5Cvarphi%7D%7D%20%24%24)
,
откуда
![$$\displaystyle \mathbf{A(r)} = -\frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln (s/a)$$ $$\displaystyle \mathbf{A(r)} = -\frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln (s/a)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%5Cmathbf%7BA%28r%29%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cmu_0%20I%7D%7B2%5Cpi%7D%20%5Cln%20%28s%2Fa%29%24%24)
,
где
![$$a$$ $$a$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%24%24)
--- произвольная постоянная.
Кстати, полезно этот результат проверить через
![$$\nabla \cdot \mathbf{A} =0,~\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}}$$ $$\nabla \cdot \mathbf{A} =0,~\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cnabla%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BA%7D%20%3D0%2C~%5Cnabla%20%5Ctimes%20%5Cmathbf%7BA%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7BB%7D%7D%24%24)