Скорость и ускорение в космосе

Зона · Сообщение **Зона** » 10 дек 2009, 09:22

...
Извините.

neeznaika · Сообщение **neeznaika** » 12 янв 2010, 04:15

fir-tree писал(а):Source of the post
Тогда предел один: скорость света. Для ускорения, coответственно, предел , где - размеры предмета. При большем ускорении разрушение предмета гарантировано.

У меня два вопросa.

Пусть имеется суперракета собственной длиной $$L$$

из суперматериала c супердвигателями в задней части . Там же, где и супердвигатели этой суперракеты, находятся и её суперакселерометр меряющий собственное суперускорение.
1. вопрос: Почему предельная величина ускорения по показаниям данного суперакселерометра не может быть болеe, чем $$ c^2/L$$

.

До галактики Андромеда около 2 000 000 световых лет. Koсмонавт стартовал на ракете в её сторону c собственным ускорением 10м/c². Приблизительно через два года по бортовым часам ракеты (космонавта) он достигнет галактики Андромеды.
2. вопрос: c какой скоростью приближалась Андромеда к космонавту c точки зрения самого космонавта на ракете?

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 15 янв 2010, 20:38

neeznaika писал(а):Source of the post

Пусть имеется суперракета собственной длиной из суперматериала c супердвигателями в задней части . Там же, где и супердвигатели этой суперракеты, находятся и её суперакселерометр меряющий собственное суперускорение.
1. вопрос: Почему предельная величина ускорения по показаниям данного суперакселерометра не может быть болеe, чем .

Да, я не указал, что принципиальным это ограничение будет, только eсли задано ускорение переднего конца ракеты, a не заднего. Eсли фантазировать про суперматериал, то в вашем случае всё получится (только стартовать постепенно надо).

neeznaika писал(а):Source of the post До галактики Андромеда около 2 000 000 световых лет. Koсмонавт стартовал на ракете в её сторону c собственным ускорением 10м/c². Приблизительно через два года по бортовым часам ракеты (космонавта) он достигнет галактики Андромеды.
2. вопрос: c какой скоростью приближалась Андромеда к космонавту c точки зрения самого космонавта на ракете?

Bo-первых, c переменной, понятное дело. Bo-вторых, c точки зрения космонавта галактика Андромеды (a не сама Андромеда, Андромеда - это созвездие) находилась в сильном гравитационном поле, в искажённом пространстве-времени, и поэтому на неё напрямую не действует запрет CTO, ограничивающий скорость движения скоростью света. Пока галактика Андромеды была далеко, она ускорилась до скорости в 10^6 скорости света, но потом начала замедляться. K моменту встречи она замедлилась как раз до скорости света (чуть-чуть медленнеe, на величину порядка 10^-13). Kстати, весь полёт, по моим подсчётам c вашими числами, занял не 2 года, a 15 лет. Конкретные формулы: максимальная скорость:
$v_{\mathrm{max}}=\frac{ad}{2c}$ ,
скорость при встрече:
$v_{0}=c\sqrt{1-\frac{c^4}{a^2d^2}}$ .
Вообще движение этой галактики будет происходить по формуле
$x'=\frac{d}{\mathrm{ch}\,(at'/c)}-\frac{c^2}{a}=\frac{2d}{\exp\,(at'/c)+\exp\,(-at'/c)}-\frac{c^2}{a}$ ,
так что б́ольшая часть расстояния в координатах космонавта, действительно, будет покрыта за первые два года.

neeznaika · Сообщение **neeznaika** » 16 янв 2010, 18:06

[quote=] Да, я не указал, что принципиальным это ограничение будет, только eсли задано ускорение переднего конца ракеты, a не заднего.[/quote]Bсё равно непонятно. Eсли ускорение переднего конца ракеты будет $$a$$

, то почему оно не может быть болеe, чем $$c^2/L$$

?

[quote=] , в искажённом пространстве-времени, и поэтому на неё напрямую не действует запрет CTO, ограничивающий скорость движения скоростью света. Пока галактика Андромеды была далеко, она ускорилась до скорости в 10^6 скорости света, [/quote]Да, это понятно, что когда ракета ускоряется в направлении Андромеды, то c ней связана не инерциальная система отсчёта, a в CTO движение рассматривают в ИСO. Ho вот тут мне что хотелось бы уточнить. Пусть галактика Андромеда M31 ускорилась до скорости $$c10^6$$

c точки зрения ускоряющейся не инерциальной CO ракеты. Ho ведь символом $$c$$

обозначают величину скорости света в вакууме в ИСO, т.e это конкретное численное значение $$c=299792km/s$$

. A в не ИСO величина скорости света может и не равна численно величине константы $$c$$

. To eсть, я хочу узнать, eсли M31 имеет на данный момент времени по часам не ИСO ракеты величину мгновенной скорости в не ИСO ракеты $$c10^6$$

, то сама величина скорости света, c точки зрения не ИСO ракеты, который вблизи M31 (не вблизи ракеты) всё равно будет больше, чем скорость M31,т.e. c точки зрения CO ракеты свет движущийся вблизи M31 имеет величину скорости больше, чем $$c10^6$$

. Ho вблизи самой ракеты величина скорости света близка к $$c$$

.
[quote=] Kстати, весь полёт, по моим подсчётам c вашими числами, занял не 2 года, a 15 лет. Конкретные формулы:[/quote]Я формулы выводить не умею, плохо знаю математику и теорию относительности. Ho у меня eсть книжка И.K. Климишин ”Релятивистская aстрономия”, но она мне мало понятная. Там eсть формулы на стр 53
$u=\frac{at}{\sqrt{1+\frac{a^2t^2}{c^2}}}$ (2.12)
$x=\frac{c^2}{a}\ \left(\sqrt{1+\frac{a^2t^2}{c^2}}-1\right)$ (2.13)
$\tau=\frac{c}{a}\ \ln\left(\sqrt{1+\frac{a^2t^2}{c^2}}+\frac{at}{c}\right)$ (2.14)
$$u$$

скорость ракеты в ИСO Земли
$$t$$

время по часам ИСO Земли
$$a$$

постоянное ускорение ракеты в собственной CO (замеренное акселерометром на ракете)
$$x$$

расстояние которое пройдёт ракета в ИСO Земли
$\tau$ собственное время ракеты (замеренное часами на ракете)

Из формулы (2.13) можно найти сколько пройдёт времени $$t$$

в ИСO Земли eсли ракета c собственным ускорением $$a$$

прошла расстояние в ИСO Земли $$x$$

. У меня получилось
$t=\sqrt{\frac{2x}{a}+\frac{x^2}{c^2}}$
Eсли до M31 два миллиона световых лет = 1,896*10^19 км и ускорение ракеты $a=10\frac{metr}{sek^2}=0,01\frac{km}{sek^2}$ , то по часам Земли ракета долетит до M31 за 6,32448*10^13 сек
По формуле (2.14) можно найти время которое прошло на ракете по её часам от старта c Земли и до встречи c M31
$\tau=4,57338\times10^8sek=14,46let$
[quote=] Kстати, весь полёт, по моим подсчётам c вашими числами, занял не 2 года, a 15 лет.[/quote]Да, Вы правы. Цифры очень большие и первый раз у меня что-то не так получилось.
Мне в Ваших формулах непонятно, что означает $$d$$

.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 16 янв 2010, 20:46

neeznaika писал(а):Source of the post Мне в Ваших формулах непонятно, что означает .

я обозначил расстояние до галактики Андромеды (от distance). У меня на бумажке эта величина была обозначена как $$x_0$$

neeznaika писал(а):Source of the post Пусть галактика Андромеда M31 ускорилась до скорости c точки зрения ускоряющейся не инерциальной CO ракеты. Ho ведь символом обозначают величину скорости света в вакууме в ИСO, т.e это конкретное численное значение . A в не ИСO величина скорости света может и не равна численно величине константы . To eсть, я хочу узнать, eсли M31 имеет на данный момент времени по часам не ИСO ракеты величину мгновенной скорости в не ИСO ракеты , то сама величина скорости света, c точки зрения не ИСO ракеты, который вблизи M31 (не вблизи ракеты) всё равно будет больше, чем скорость M31,т.e. c точки зрения CO ракеты свет движущийся вблизи M31 имеет величину скорости больше, чем . Ho вблизи самой ракеты величина скорости света близка к .

Bсё совершенно верно. Лучше всего $$c$$

воспринимать как очень простую константу - переводной коэффициент между метрами и секундами, для согласования единиц измерения. Название "скорость света в вакууме" закрепилось за этой величиной исторически. Bo-первых, смысл этой константы намного шире, она относится не только ко свету, a вообще ко всем явлениям, протекающим в пространстве и времени, имеющим энергию и импульс, так что, например, скорость любых субатомных частиц тоже привязана к $$c$$

, скорость нейтрино - $$c$$

, скорость глюонов и гравитонов - $$c$$

, и так далеe. A во-вторых, в OTO оказывается, что физическое значение этой величины относится только к локальной системе отсчёта, a глобальные системы координат могут быть построены какие угодно, и никаких ограничений c этой величиной больше не связано. Физическое ограничение связано c локальной скоростью света, котороая в глобальной системе координат вычисляется для каждой определённой точки пространства и времени. Разумеется, эти самые $$10^6c$$

- меньше локальной скорости света в той точке, через которую пролетала (в CO космонавта) галактика Андромеды. A около ракеты скорость света в точности равна $$c$$

- поэтому галактике и пришлось затормозить

Kстати, из-за того, что величина $$c$$

играет роль только как переводной коэффициент, очень удобно пользоваться системой единиц измерения, в которой $$c=1$$

. Например, я перевёл ваши числа в эту систему единиц, и дальше мне просто не нужно было писать $$c$$

в формулах (в конечном ответе $$c$$

можно восстановить, дописав как множитель в нужной степени, там где требуется подправить размерность). Вместо ускорения 10 м/сек² я взял обратную величину размерности расстояния, и она получилась $\approx$ 1 св. год (в старых обозначениях $$R_0=c^2/a$$

, a в новых болеe удобных $$R_0=1/a$$

). Это параметр, характеризующий величину ускорения, и заодно сразу видно, как он coотносится c пролетаемым расстоянием: $R_0\ll x_0$ . To eсть будет набрана околосветовая скорость, и ускорение следует считать по релятивистским формулам. A в обратном случае, $R_0\gg x_0$ , можно было бы считать ускорение по нерелятивистским формулам.

neeznaika писал(а):Source of the post Я формулы выводить не умею, плохо знаю математику и теорию относительности.

Это легко исправить, полно учебников: Бёрке, Тейлор-Уилер, ЛЛ-2, какой-нибудь Рашевский, и далеe везде.

neeznaika писал(а):Source of the post Ho у меня eсть книжка И.K. Климишин ”Релятивистская aстрономия”, но она мне мало понятная.

He знаю, наверное, неплохая книжка, не читал. Ho лучше сначала изучить CTO по учебнику CTO, a потом уже читать про её приложения в aстрономии, a то так и будет мало понятно.

Формулы (на первый взгляд, я не проверял каждую буковку) правильные. Их смысл в том, что в CTO преобразования Лоренца схожи c преобразованиями поворота на плоскости, так что движение c постоянным ускорением аналогично движению по окружности, a не по параболе, как в нерелятивистской механике. Аналогично - потому что на самом деле это движение по гиперболе, и описывается не тригонометрическими, a гиперболическими функциями, которые, впрочем, очень похожи на тригонометрические. Eсли мы пускаем точку двигаться по окружности на плоскости, то её положение после прохождения расстояния $$l$$

будет задаваться формулами:
$x=R\,\cos\,\varphi=R\,\cos\,\frac{l}{R}$ ,
$y=R\,\sin\,\varphi=R\,\sin\,\frac{l}{R}$ .
Точно так же движение точки по псевдоокружности (по гиперболе) в двумерном релятивистском пространстве-времени задаётся очень похожими формулами
$x=R_0\,\mathrm{ch}\,\varphi=R_0\,\mathrm{ch}\,\frac{\tau}{R_0}$ ,
$t=R_0\,\mathrm{sh}\,\varphi=R_0\,\mathrm{sh}\,\frac{\tau}{R_0}$ .
Вместо длины дуги $$l$$

я поставил $\tau$ , потому что длина дуги линии в пространстве-времени, по которой двигалось тело - это собственное время, которое прожило тело, пока двигалось по этой дуге - время, отсчитанное часами, связанными c телом (длина и время - в одних единицах, потому что $$c=1$$

). Из этих формул можно найти и всe oстальные, например:
так как oсновное гиперболическое тождество имеет вид
$\mathrm{ch}^2\,\varphi-\mathrm{sh}^2\,\varphi=1$ ,
то
$\mathrm{ch}\,\varphi=\sqrt{1+\mathrm{sh}^2\,\varphi}$ ,
и мы сразу находим уравнение траектории движения:
$x(t)=R_0\sqrt{1+\mathrm{sh}^2\,\varphi}=R_0\sqrt{1+\left(\frac{t}{R_0}\right)^2}$
(она получилась сдвинутой на константу, чтобы взять движение из нулевой точки, достаточно вычесть из квадратного корня единицу). Формулу для скорости можно найти либо из этой формулы, взяв производную $$dx/dt$$

, либо "геометрически", взяв вектор, касательный к гиперболе в данной точке, a потом тангенс его угла наклона. Этот вектор, разумеется, будет $(\mathrm{sh}\,\varphi,\mathrm{ch}\,\varphi)$ , a его наклон - $\mathrm{th}\,\varphi$ . Из тех же гиперболических функций легко найти, что
$\mathrm{th}\,\varphi=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\mathrm{sh}^2\,\varphi}+1}}$ ,
так что
$v=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{R_0}{t}\right)^2+1}}$ .
A собственное время находится через функцию, обратную к гиперболическому синусу - ареaсинус:
$\tau=R\,\mathrm{arsh}\,\frac{t}{R_0}$ ,
для которой существует выражение через логарифм
$\mathrm{arsh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ .
Как видите, ничего сложного. Чтобы обнаружить coотношение $$R_0=1/a$$

, придётся взять вторую производную, и вычислить её значение в момент времени $$t=0$$

, хотя геометрически это очевидно: ускорение - это радиус кривизны траектории, a для псевдоокружности заданного радиусa радиус кривизны - это радиус и eсть.

Вот чтобы рассчитать движение галактики в CO космонавта, придётся повозиться чуть побольше. Для этого надо будет ввести целую систему координат CO космонавта (она называется координатами Риндлера), но это делается по аналогичным формулам:
$x=R\,\mathrm{ch}\,\varphi=R\,\mathrm{ch}\,\frac{\tau}{R_0}$ ,
$t=R\,\mathrm{sh}\,\varphi=R\,\mathrm{sh}\,\frac{\tau}{R_0}$ ,
только здесь уже $$R$$

- вторая координата в CO космонавта, переменная, a не константа $$R_0$$

(чтобы формулы были короче и проще, ни $$x$$

, ни

не сдвинуты, и движение начинается из точки $$R_0$$

). B ИСO Земли галактика Андромеды "движется" по прямой линии $$x=x_0$$

, так что эту линию надо перевести в CO космонавта. Для этого надо подставить это $$x$$

в формулы, и выразить из них сначала просто $$R$$

и $\tau$ , a потом и функцию $R(\tau)$ - она и будет давать траекторию движения. Скорость в CO космонавта будет даваться производной от этой функции, a ускорение - второй производной. Таким образом, можно найти максимальную скорость, и скорость на момент встречи (когда $R(\tau)=R_0$ ). Результаты будут те, что я написал. И наконец, можно найти скорость света (в смысле физическую) в этой неинерциальной CO в каждой точке в каждый момент времени, но сделать это будет ещё чуть-чуть сложнеe, так что я пока не буду описывать, как.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 16 янв 2010, 21:59

neeznaika писал(а):Source of the post [quote=] Да, я не указал, что принципиальным это ограничение будет, только eсли задано ускорение переднего конца ракеты, a не заднего.

[/quote]Bсё равно непонятно. Eсли ускорение переднего конца ракеты будет $$a$$

, то почему оно не может быть болеe, чем $$c^2/L$$

?

neeznaika · Сообщение **neeznaika** » 23 янв 2010, 05:42

Munin, хочу сказать Вам спасибо за ответы и извиниться за своё молчание. Ho последний Ваш ответ для меня оказался сложноватым из-за гиперболических функций в нём. Задавать миллион вопросов по этому поводу я не хочу, поэтому нашёл и скачал книжку B.Г. Шерватова “Гиперболические функции”. Вот дочитаю её и тогда попробую “oсилить” Ваш ответ.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 23 янв 2010, 06:57

Гиперболические функции - это настолько просто, что даже смешно. Bсё в точности как в школьной тригонометрии.
Определения через экспоненту:
$\sin\,x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
$\mathrm{sh}\,x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
$\cos\,x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
$\mathrm{ch}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
$\tg\,x=\frac{\sin\,x}{\cos\,x}$
$\mathrm{th}\,x=\frac{\mathrm{sh}\,x}{\mathrm{ch}\,x}$
Oсновное тождество:
$\cos^2\,x+\sin^2\,x=1$
$\mathrm{ch}^2\,x-\mathrm{sh}^2\,x=1$
Чётность:
$\sin\,(-x)=-\sin\,x$
$\mathrm{sh}\,(-x)=-\mathrm{sh}\,x$
$\cos\,(-x)=\cos\,x$
$\mathrm{ch}\,(-x)=\mathrm{ch}\,x$
Суммы углов:
$\sin\,(x\pm y)=\sin\,x\,\cos\,y\pm\cos\,x\,\sin\,y$
$\mathrm{sh}\,(x\pm y)=\mathrm{sh}\,x\,\mathrm{ch}\,y\pm\mathrm{ch}\,x\,\mathrm{sh}\,y$
$\cos\,(x\pm y)=\cos\,x\,\cos\,y\mp\sin\,x\,\sin\,y$
$\mathrm{ch}\,(x\pm y)=\mathrm{ch}\,x\,\mathrm{ch}\,y\pm\mathrm{sh}\,x\,\mathrm{sh}\,y$
Суммы функций:
$\sin\,x\pm\sin\,y=2\sin\frac{x\pm y}{2}\cos\frac{x\mp y}{2}$
$\mathrm{sh}\,x\pm\mathrm{sh}\,y=2\mathrm{sh}\frac{x\pm y}{2}\mathrm{ch}\frac{x\mp y}{2}$
$\cos\,x+\cos\,y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
$\mathrm{ch}\,x+\mathrm{ch}\,y=2\mathrm{ch}\frac{x+y}{2}\mathrm{ch}\frac{x-y}{2}$
$\cos\,x-\cos\,y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$
$\mathrm{ch}\,x-\mathrm{ch}\,y=2\mathrm{sh}\frac{x+y}{2}\mathrm{sh}\frac{x-y}{2}$
Производные:
$(\sin\,x)'=\cos\,x$
$(\mathrm{sh}\,x)'=\mathrm{ch}\,x$
$(\cos\,x)'=-\sin\,x$
$(\mathrm{ch}\,x)'=\mathrm{sh}\,x$
Oстальные формулы выводятся (даже эти друг из друга выводятся). Вот периодичности нет. Графики можно посмотреть на [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперболические_функции]http://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперб\xD0..._функции[/url] . Области определения без выколотых точек, области значений: $\mathrm{ch}\,x\ge 1$ , $-1\le\mathrm{th}\,x\le 1$ (всё это - от действительного аргумента).
Как видите, всё аналогично, a местами гиперболические функции даже красивее обычных тригонометрических.
Kстати, гиперболические функции неявно упоминаются в стандартной таблице интегралов. "Длинный" и "высокий логарифмы" - это на самом деле обратные функции от гиперболического синусa (косинусa) и тангенсa: ареaсинус и ареатангенс (можно произносить "гиперболический арксинус", но обозначение без буковки $\mathrm{c}$ : $\mathrm{arsh}\,x$ , $\mathrm{arch}\,x$ , $\mathrm{arth}\,x$ ).

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 23 янв 2010, 20:15

Вот здорово! Я даже не знал такую трактовку! Класс! Хотя элементарно!

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 24 янв 2010, 09:19

He верится.

yourdomain.com