Доказать последовательность Фибоначчи

aston_bonny · Сообщение **aston_bonny** » 29 ноя 2015, 09:29

Докажите, что для последовательности чисел Фибоначчи {Uk} при любом целом неотрицательном n справедливо равенство

.

aston_bonny · Сообщение **aston_bonny** » 29 ноя 2015, 12:20

Ошибка. В правой части не -1, +1.
Latex почему-то глючит. Может в моем браузере так.
В раздел дискретной написал, т.к. пример из соответствующей книги.

aston_bonny · Сообщение **aston_bonny** » 29 ноя 2015, 13:19

zykov · Сообщение **zykov** » 29 ноя 2015, 20:02

по индукции пробовали?

ARRY · Сообщение **ARRY** » 29 ноя 2015, 21:22

Попробовал доказать по индукции. Но нет, при индукционном переходе от $$n$$

к

равенства не получается. И закралось сомнение, а тождество ли в условии?
Смотрите, вот последовательность Фибоначчи: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,\ldots$ .
При $$n=1$$

всё тип-топ: $$1+u_2=u_3$$

,
при

- тоже:

.
Однако уже при $$n=3$$

$1+u_2+u_4+u_8\ne u_9$ , т.е. $1+1+3+21\ne 34$ .
И что будем делать? Может в условии ошибка?

citerra · Сообщение **citerra** » 30 ноя 2015, 05:44

В условии должно быть сумма четных индексов Фибоначчи.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 30 ноя 2015, 05:58

Вы ничего не напутали? У Вас сумма в правой части меньше, чем последний член в левой. Что имеется в виду?
И пишите в LATEX-е, на худой конец здесь в окне ответа есть встроенный редактор формул.
И почему поместили тему в раздел дискретной математики? Последовательность Фибоначчи рассматривается в теории чисел. Здесь есть соответствующий раздел.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 30 ноя 2015, 06:00

citerra писал(а):Source of the post В условии должно быть сумма четных индексов Фибоначчи.

Если так, то это известное тождество. Но у ТС-а явно и не один раз просматриваются в индексе степени двойки.

citerra · Сообщение **citerra** » 30 ноя 2015, 06:34

Если в известном тождестве выбросить слагаемые в левой части, то новая сумма естественно будет только меньше. А при переписи многое чего можно написать, в том числе и степени двойки вместо четных индексов.

Володиславир

В принципе, можно представить последовательность $u_{2^{n}-1}+ \large u_{2^{n}} = u_\large 2^n +1$ в виде
$1\cdot a_{1}+a_{2}u_{2}+a_{4}u_{4}+...+u_{2^{n}-2^{^{n-1}}}+ \large u_{2^{n}} = u_\large 2^n +1$ Но коэффициенты $a_{i}$ будут не однозначны.

yourdomain.com