Всевозможные произведения из трех сомножителей

mersenne · Сообщение **mersenne** » 07 ноя 2015, 11:57

Блюмс... во время поиска всегда это условие забывается.

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 07 ноя 2015, 19:05

12d3 писал(а):Source of the post Давайте сначала найдем, сколькими способами 6 двоек распихать на три сомножителя(порядок важен). Тут нужен метод шаров и перегородок. Знаете ли вы такой?

12d3, прочитала я про задачу Муавра и метод шаров и перегородок.значит, есть у нас 12 шаров, т.е. 11 мест, на которых можно поставить 2 перегородки. Причём перегородки нельзя ставить ни в начале, ни в конце. Нельзя также ставить обе перегородки в одном и том же месте. Число расстановок этих перегородок я посчиТать могу.
Вот как учесть порядок сомножителей в каждом произведении? Не понимаю.

12d3 · Сообщение **12d3** » 07 ноя 2015, 20:54

Забудьте пока про пятерки, рассматриваем только двойки. У нас шесть двоек. Их нужно разложить на три ящика, сиречь сомножителя. В каждом ящике может быть любое количество двоек, ноль в том числе. Раз ящика три, то нужно 2 перегородки. 2 перекогордки + 6 предметов - это 8 мест. Количество способов расставить две перегородки на 8 мест равно $$C_8^2$$

.
Дальше забываем про двойки и решаем ту же подзадачу только для пятерок. Получится тоже $$C_8^2$$

расстановок.
А теперь возвращаемся к первоначальной задаче, с двойками и пятерками. Каждому разложению миллиона на три сомножителя соответствует пара - расстановка двоек и расстановка пятерок. Пример $1000000=(2\cdot 5\cdot 5) \cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 5 )\cdot (5 \cdot 5 \cdot 5)$ . Три скобки - это три сомножителя. Этому разложению соответствует расстановка двоек $$2|22222|$$

и расстановка пятерок $$55|5|555$$

.
И наоборот, каждой паре из расстановки двое и расстановки пятерок соответствует ровно одно разложение миллиона на три множителя. Таким образом, искомое количество разложений миллиона на три сомножителя равно произведению количества расстановок двоек на количество расстановок пятерок, т.е. $\left (C_8^2 \right )^2$

Володиславир

Так как $10^{6}=2^{6}*5^{6}$ , то любое разложение на три множителя имеет вид
$(2^{a_{1}}*5^{b_{1}})(2^{a_{2}}*5^{b_{2}})(2^{a_{3}}*5^{b_{3}})$ при $a_{1}+a_{2}+a_{3}=6 ; b_{1}+b_{2}+b_{3}=6$
Так как 6 разбивается на 3 слагаемых $\left C_8^2 \right =28$ способами, то учитывая порядок множителей, число разложений $28^{2}=784$

ARRY · Сообщение **ARRY** » 07 ноя 2015, 21:52

12d3 писал(а):Source of the post И наоборот, каждой паре из расстановки двое и расстановки пятерок соответствует ровно одно разложение миллиона на три множителя.

12d3, так по-Вашему получается, что каждый из сомножителей вполне определён количеством двоек и пятёрок из его разложения. Причём определён, как я понял, однозначно. Количеством, но не их порядком в разложении. А в какой момент Вы учитываете порядок?

Володиславир

На всякий пожарный пояснение про $C_{8}^{2}\textrm{}$
Используются сочетания с повторениями $\bar{C}_{3}^{6}\textrm{}=\bar{C}_{m}^{n}\textrm{}=P(n,m-1)=C_{m+n+1}^{n}\textrm{}=C_{m+n-1}^{m-1}\textrm{}=C_{8}^{2}\textrm{}$

12d3 · Сообщение **12d3** » 07 ноя 2015, 22:49

ARRY писал(а):Source of the post А в какой момент Вы учитываете порядок?

Порядок сомножителей, которых три штуки или порядок двоек-пятерок в каждом сомножителе? Если первое, то в рисуночках с перегородками типа 2|2222|2 слева от первой перегородки - это первый сомножитель, между первой и воторой палкой - это второй сомножитель, что осталось - третий. Если второе, то никак, порядок двоек-пятерок внутри сомножителя не важен.

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 08 ноя 2015, 07:11

12d3, не поняла.
Взяли 2|22222 и 5|55555, получили 25|2222255555, разложение на два сомножителя.

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 09 ноя 2015, 10:15

12d3, не поняла. Вы на мои посты не отвечаете, потому что у меня слишком богатое воображение? Для математика оно недостаточно богатое, увы.
Вы задачу всё же решили для разложения на 2 и 3 сомножителя. Проверьте свою формулу для 100. У вас получается 36 способов. 6 перестановок, каждую можно тремя способами разделить на 3 сомножителя и ещё тремя способами - на два. 6*6=36.

12d3 · Сообщение **12d3** » 09 ноя 2015, 12:42

Swetlana писал(а):Source of the post Взяли 2|22222 и 5|55555, получили 25|2222255555, разложение на два сомножителя.

У меня на три сомножителя. У вас у двоек одна перегородка и у пятерок одна перегородка, а должно быть по две.

Swetlana писал(а):Source of the post У вас получается 36 способов.

Именно так. Если считаете, что это неправильно, могу написать программку, проедмонстрировать все варианты.

yourdomain.com