Логика и двойственность

[ivashenko]

С удивлением открыл для себя недавно, что в математике допустим факт того, что утверждение может влечь одновременно как своё утверждение, так и отрицание, при этом исходное утверждение считается ложным. Или другими словами: из лжи может следовать что угодно- как истина, так и ложь, а из истины - только истина. Эта асимметрия логических операций заставила попытаться поискать симметричные варианты логических систем и поразмышлять о логике вообще. Всем известно о существовании многозначных явлений в природе, которые порождают и соответствующие высказывания для их описания. Например рассмотрим относительность движения и двойственность описания этой относительности. Высказывания: "Я покоюсь" и "Я двигаюсь" могут в рамках двоичной логики трактоваться лишь как противоположные. Т.е. если одно из них истинно, то другое обязательно является ложью. Однако в реальности природа движения относительна и я могу одновременно покоиться относительно стула, на котором сижу и двигаться вокруг земной оси с головокружительной скоростью относительно космических тел. Т.е. данные два высказывания могут быть как отрицающими друг друга, так и дополняющими. Чтобы описать относительность движения в рамках двоичной логики, приходится вводить предикаты- высказывания и давать множество определений. Вводить например понятия стул и космические тела, определять их положение и своё относительно них. Такое описание не отражает относительности движения в общем случае, а описывает лишь частности и требует громоздких построений. Однако можно пойти другим путём и ввести в логическую систему элемент, выражающий двойственность высказывания (явления). Т.е. помимо "лжи" и "истины", ввестие еще нейтральный элемент, своеобразный ноль : "и ложь, и истина". Таким образом, двойственные высказывания(явления), можно будет описывать с помощью всего лишь одной логической операции. Посмотрим какими недостатками обладает логика предикатов по сравнению с троичной логикой, содержащей двоичный элемент: 1. Для каждой из бесчисленного множества подобных ситуаций, необходимо вводить свой набор предикатов. Что весьма громоздко и трудоемко. 2. Это требует огромных затрат человеческого труда при реализации в железе или программах. 3. Как описать в данной системе парадоксы, представляющие совмещение двух противоположных высказываний??? 4. Как описать бесконечное количество смыслов у некоторых высказываний? 5. Описание в данной системе не отражает множественные суть некоторых явлений(высказываний), а лишь сводит эту суть к однозначности на основе рассмотрения частных случаев. Т.е. не позволяет описать множественное явление в самом общем случае. 6. Данная система лишена хаотичности. Теперь рассмотрим преимущества, которые даёт введение двойственного элемента: 1. Любое двойственное явление(высказывание) описывается одним элементoм, т.е. Выделяется из явления его математическая суть- двойственность и это выражается всего лишь одной операцией, не требует громоздких построений и установления взаимосвязей между ними. 2. Легко реализуется в железе и программно, можно просто немного изменить двоичную логику. 3. Позволяет описывать в одну операцию парадоксы. 4. Позволяет легко работать как с однозначным, так и с многозначными высказываниями. 5. Отражает сущность множественных явлений. Позволяя описывать их в самом общем виде, не сводя к однозначности и частностям. 6. Включает в себя хаос. 7. Позволяет привести логическую систему к некоторой симметричности. Из лжи следует ложь, из истины- истина, из двойственности можно выделить как ложь, так и истину. Возможно, что именно наличие двойственного (нейтрального) элемента отличает логику человека от компьютерной логики и именно благодаря ему человек способен быстро анализировать ситуацию, работать с парадоксами и прочими многозначными высказываниями(явлениями).

[folk]

Для описания противоречивых явлений или неоднозначных явлений есть следующие подходы - нечеткая логика, многозначные логики и связанная с ними теория доменов (в ней есть прямой аналог искомого вами элемента - bottom, все невычислимые функции выдают его в качестве результата), темпоральные логики, и как вы правильно упомянули логика предикатов. Описание реального мира - не слишком упрощенное неизбежно приводит к понятию контекста, непротиворечивость модели требуется в рамках контекста, можно описать множество ситуаций и разные ситуации в целом будут противоречивы, но в каждой конкретной ситуации противоречий либо нет либо они успешно  разрешаются.

[ivashenko]

Похоже велосипед давно изобретен, но всё же... Я пытаюсь понять, как устроено мышление или логика человека. Я о том и говорю, что человек может использовать в своём мышлении ситуации , которые не разрешены или противоречивые выражения, быстро определять их и оперировать с ними, что как оказалось можно делать в многозначной логике с неопределенным (двойственным) элементом. Но приведена ли эта логика к симметричном виду? Симметрично ли в ней следование элементов друг из друга? Или все так же из лжи может следовать все что угодно,а из истны только истина? Я думаю, что изначально каждое выражение такой логики должно принадлежать бесконечному пространству выражений и иметь бесконечное число смыслов. Эти пространства должны быть выражаемые в виде определённой компактной структуры, образуемой правилами следования элементов логики друг из друга. 

[ivashenko]

Похоже велосипед давно изобретен, но всё же... Я пытаюсь понять, как устроено мышление или логика человека. Я о том и говорю, что человек может использовать в своём мышлении ситуации , которые не разрешены или противоречивые выражения, быстро определять их и оперировать с ними, что как оказалось можно делать в многозначной логике с неопределенным (двойственным) элементом. Но приведена ли эта логика к симметричном виду? Симметрично ли в ней следование элементов друг из друга? Или все так же из лжи может следовать все что угодно,а из истны только истина? Я думаю, что изначально каждое выражение такой логики должно принадлежать бесконечному пространству выражений и иметь бесконечное число смыслов. Эти пространства должны быть выражаемые в виде определённой компактной структуры, образуемой правилами следования элементов логики друг из друга. 

[folk]

То что
F -> F и F -> T это наш способ сказать на вопрос
"Второе начало термодинамики преодолено вот в этом аппарате! Сможете построить электростанцию к четвергу?"
А хрен его знает!
Если же вы как то определите конкретно - то у вас будет скажем так перекос - из любого ложного утверждения можно будет что то да вывести.

[ivashenko]

Да, если привести логику к симметричному виду, то  из любого ложного утверждения можно будет вывести только ложь, из любого истинного- только истину, а из двойственного - все что угодно. Чему это может помешать и какие создать противоречия???
И к чему относится Ваше "А хрен его знает!" - К "Установлена ли в многозначной логике симметрия между отношениями элементов?"
И в чем заключается перекос, если из ложного утверждения что- то можно вывести, например только ложь?

[folk]

С математического на русский f->t, f->f переводится как "хз"
Ваш подход ничем не плох - вы получите некую специфическую логику.
Давайте напишем полностью таблицу импликации
0 0 1
0 1  1
1 0  0
1 1 1
 
Такая операция которая проверяет ошибку вывода нужна? Нужна. Назовите ее как хотите. То что вы ее называете следует это не верно. В теории доказательств есть понятие вывода - там все строго и ваши построения к выводу не имеют никакого отношения - ибо правила вывода не позволяют вывести ложное утверждение из истины. Но это метауровень, а чтобы он работал нужен базовый уровень. Проблема в том что вы их путаете - но на самом деле они строго разделены. На уровне логического высказывания нельзя говорить о следовании - это просто формула. Ценность имеет вывод формулы из аксиом. Есть еще нулевой уровень - синтаксиса - неправильно написанная формула - что с ней делать придумаете? ))
И это тоже не совсем верное - можно говорить об общезначимых формулах но мне кажется что стоит сразу говорить о выводах)
 

[folk]

http://ilyabirman.ru/meanwhile/2009/03/25/1/

[ivashenko]

Благодарю за участие в обсуждении, уважаемый folk. Да, возможно я действительно смешиваю понятия импликации и следования,  но таблица истинности для операции импликации, приведенная Вами никак не относится к тому, что я хочу выразить, она относится к двоичной стандартной логике.
Итак, ещё раз, я пытаюсь рассмотреть мышление человека,  построить логику, которая позволяла бы, разрешать  противоречия или переводить их в класс глупостей, парадоксов и т.д.
Я считаю, что в такой логике необходимо присутствие нейтрального элемента, которым будем обозначать противоречия и неопределеность, т.е. логика как минимум должна быть троичной. И таблица импликация должна на мой взгляд выглядеть примерно так:
(0)(0)(0) 
(0)(1)(1) 
(0)(-1)(-1) 
(1)(0)(1) 
(1)(1)(1) 
(1)(-1)(-1)
(-1)(0)(-1) 
(-1)(1)(1)
(-1)(-1)(-1)
Где (-1)- это ложь, 0- неопределенность или множественность, 1- истина.
Может быть стоит как- то изменить таблицу или Вы в ней видите неустранимые противоречия при сопоставлении с высказываниями?

[folk]

пардон а как читается (0)(1)(1) 
Я писал таблицу истинности
1 0 0
как (true -> false) ложно