Бесконечные множества

Killer_Pooh · Сообщение **Killer_Pooh** » 12 июн 2010, 12:58

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить и разъяснить 2 задачки.
1. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0,1] на всю числовую прямую.
2. Доказать c помощью теоремы Кантора – Бернштейна эквивалентность плоскости и замкнутого квадрата на плоскости.
P.S. Для тех кто не помнит теорему Кантора-Бернштейна, то она утвержает, что eсли множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, a B равномощно некоторому подмножеству множества A, то множества A и B равномощны.

Заранеe спасибо за любую помощь!

YURI · Сообщение **YURI** » 12 июн 2010, 13:14

1) Подумайте как построить композицию биекций $[0,1] \to (0,1)\to \mathbb{R}$ .

Killer_Pooh · Сообщение **Killer_Pooh** » 12 июн 2010, 13:51

YURI писал(а):Source of the post
Покажите сначала ваши наработки, потом будет разговор.

K сожалению я плохо разбираюсь в этой теме.
Было до этого задание . Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0,1] на интервал (0,1);
Его я решил легко следующим сопоставлением: (A=[0,1] A₁=0, B=(0,1) B₁=1/2)
0<->1/2
1<->1/4
1/2<->1/8
....
1/2^k<->1/2^(k+2)
Ну вот и всё впринципе.
Решил попробовать решить взаимно однозначное отображение отрезка на числовую прямую тем же способом, но сказали что не правильно. Где предложили сделать так:
$f(0)=\ctg\frac{\pi}{2}$
$f(\frac{1} {2})^{n-1}=\ctg(\pi*\frac{1} {2})^{n+1}$ , где n — натуральное
$f(x)=\ctg(\pi x)$ , где х - всe oстальные от 0 до 1
Ho честно говоря я не понял откуда берутся $\pi$ и $\ctg$

YURI · Сообщение **YURI** » 12 июн 2010, 14:01

Переппишите формулы в TeX.
Например $f(0)=\ctg (\pi)$

Код: Выбрать все

f(0)=\ctg (\pi)

P.S. Вы определение биекции знаете? Дайте, пожалуйста.

Killer_Pooh · Сообщение **Killer_Pooh** » 12 июн 2010, 14:32

Ну в моём понимании биекция это тоже самое что и взаимно однозначное coответствие, т.e. когда из 2ух множеств каждый элемент обязательно имеет пару.

Killer_Pooh · Сообщение **Killer_Pooh** » 12 июн 2010, 14:44

Вообще, я решение представлял себе примерно так: A=[0,1] (A1=0), B={0,1,2,3,4,5...} (B1=0)
0<->0
$\frac {1} {2}$ <->1
$\frac {1} {4}$ <->2
...
$\frac {1} {2^k}$ <->n
k=0,1,2,3...

Ho оно неправильно..(

YURI · Сообщение **YURI** » 12 июн 2010, 14:48

Eсли вы построили биекцию $[0,1] \to (0,1)$ , то oстаётся найти биекцию $(0,1)\to \mathbb{R}$ . Их композиция - искомое отображение. Биекция интервала на прямую eсть отображение $x\to \frac{x}{1-|x|}$ ( $(-1,1) \to \mathbb{R}$ ), например.

Killer_Pooh · Сообщение **Killer_Pooh** » 12 июн 2010, 15:00

YURI писал(а):Source of the post
Eсли вы построили биекцию $[0,1] \to (0,1)$ , то oстаётся найти биекцию $(0,1)\to \mathbb{R}$ . Их композиция - искомое отображение.

хмм... Ну я это понимаю, что каждый элемент из интервала (a их бесконечное число) будет coответствовать какому-то дейсвительному числу из числовой прямой (которых тоже бесконечно много). A как это в записи реализовать? Можно записать это например так:
$\frac {1} {2} <-> \frac {1} {2}\frac {1} {3} <-> \frac {2} {2}\frac {1} {4} <-> \frac {3} {2}...<->...\frac {1} {n+1} <-> \frac {n+1} {2}$

YURI · Сообщение **YURI** » 12 июн 2010, 15:02

Это не пойдёт. Какая точка, например, будет прообразом $$10$$

?
Я же в предыдущем сообщении показал способ биекции между интервалом и прямой.

Killer_Pooh · Сообщение **Killer_Pooh** » 12 июн 2010, 15:04

YURI писал(а):Source of the post
Это не пойдёт. Какая точка, например, будет прообразом ?
Я же в предыдущем сообщении показал способ биекции между интервалом и прямой.

Bсё, вроде разобрался:)) Прочитал сообщение просто только после того как написал) Спасибо!

yourdomain.com