MandelbrotK писал(а):Source of the post Для конечных множеств A и B, доказать:
1) |A x B|=|A||B|
2)
Ещё не понятно вот что:
выплняется всегда, a равенство
только, когда f - инъекция, как это нормально объяснить?
Спасибо
1), 2) Это следует из определений соответствующих операций.
3) Пусть
. Так как подмножество однозначно определяется входящими в него элементами, то каждому подмножеству B множества A можно сопоставить строку из нулей и единиц следующим образом: на i-м месте строки стоит единица, если элемент
. Число таких строк -
.
Можно эту задачу решить и методом индукции.
4.1) Если
, то
или
. B таком случае
или
, то есть
. Значит выполняется включение
.
Обратно, если
, то
или
. Для определенности, пусть
. Тогда существует такой
, что
. Следовательно,
, откуда следует, что
, то есть выполнено включение
. Из двух включений следует равенство.
4.2) Если
, то
и одновременно
. B таком случае
и одновременно
. Значит
, то есть
.
Пусть теперь
. Это означает, что
и одновременно
. Если отображение
инъективно, то существует единственный элемент
, такой, что
и можно показать, что выполняется включение
.
Однако, если отображение не инъективно, то могут существовать два различных элемента
множества X, таких, что
. Тогда если
, но
, то на
, ни
не содержатся в
.
Как пример, пусть
,
. Зададим отображение f следующим образом:
Пусть теперь
,
. Тогда
и
.
Однако,
, то есть
.