Множество

LEM · Сообщение **LEM** » 10 июн 2007, 21:41

Может кто в курсе почему:
"Пологают,что пустое множество являеться подмножеством любого множества. Это вполне естественно,так как пустое множество не содержит ни одного элемента не принадлежащего другому множеству".
Вот допустим у меня множество:
натуральные числа: 2,3,4,5 (заметьте ни чего пустого нет)
вот если б было
"",2,3,4,5 тогда бы "" было равно "" (то есть пустоте) но ведь в моём множестве всего 4 элемента!
Мож кто в курсе?

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 10 июн 2007, 22:02

LEM писал(а):Source of the post
Может кто в курсе почему:
"Пологают,что пустое множество являеться подмножеством любого множества. Это вполне естественно,так как пустое множество не содержит ни одного элемента не принадлежащего другому множеству".
Вот допустим у меня множество:
натуральные числа: 2,3,4,5 (заметьте ни чего пустого нет)
вот если б было
"",2,3,4,5 тогда бы "" было равно "" (то есть пустоте) но ведь в моём множестве всего 4 элемента!
Мож кто в курсе?

Вспомните определение подмножества: "Множество A называется подмножеством множества B, если из $x \in A$ следует $x \in B$ ." Отсюда следует, что опровергнуть утверждение $A \subseteq B$ можно только указав некоторый элемент множества A, который не является элементом множества B. Если же множество A пусто, то такого элемента заведомо нет. Поэтому и получается, что $\empty \subseteq B$ .

LEM · Сообщение **LEM** » 11 июн 2007, 14:13

"опровергнуть утверждение можно только указав некоторый элемент множества A, который не является элементом множества"
A = 2,3,4,5
B = ""
C = "",2,3,4,5
B A нет "" (пустоты) в отличии от C.
Следуя вашему утверждению.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 11 июн 2007, 14:40

Пусть A = {2, 3, 4, 5} - Ваше множество. B = {} - пустое множество. Укажите в множестве B элемент, которого нет в множестве A.

Рассмотрим такую достаточно хорошую аналогию.
Множество - это коробка. Элементы множества - то, что в этой коробке лежит. Если для каждого предмета, лежащего в коробке B, в коробке A находится точно такой же предмет, то множество B будет подмножеством A. Например, пусть в коробке A лежат красный, желтый и зеленый шары, a в коробке B - зеленый шар. тогда B - подмножество A.
Пустое множество - это пустая коробка, т.e. коробка без предметов . Следовательно, нельзя указать ни одного предмета, который лежал бы в пустой коробке (так как там их вообще нет) и не лежал бы в коробке A.

LedZeppelin · Сообщение **LedZeppelin** » 14 июн 2007, 02:01

LEM писал(а):Source of the post
Может кто в курсе почему:
"Пологают,что пустое множество являеться подмножеством любого множества. Это вполне естественно,так как пустое множество не содержит ни одного элемента не принадлежащего другому множеству".
Вот допустим у меня множество:
натуральные числа: 2,3,4,5 (заметьте ни чего пустого нет)
вот если б было
"",2,3,4,5 тогда бы "" было равно "" (то есть пустоте) но ведь в моём множестве всего 4 элемента!
Мож кто в курсе?

Вы путаете понятия пустого множества и множества, элемент которого есть пустое множество

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 14 июн 2007, 14:10

LedZeppelin писал(а):Source of the post
LEM писал(а):Source of the post
Может кто в курсе почему:
"Пологают,что пустое множество являеться подмножеством любого множества. Это вполне естественно,так как пустое множество не содержит ни одного элемента не принадлежащего другому множеству".
Вот допустим у меня множество:
натуральные числа: 2,3,4,5 (заметьте ни чего пустого нет)
вот если б было
"",2,3,4,5 тогда бы "" было равно "" (то есть пустоте) но ведь в моём множестве всего 4 элемента!
Мож кто в курсе?

Вы путаете понятия пустого множества и множества, элемент которого есть пустое множество

A мне кажется, что всё правильно!!!
Как вообще доказать, что A $\subset$ B? Можно проверить, что любой элемент a множества A лежит в B. A можно применить метод от противного: если A не является подмножеством B, то найдется элемент a $\in$ A, такой что a $\notin$
B, a если такого a нет, то A $\subset$ B.
Теперь надеюсь станет понятно почему!!!!

LEM · Сообщение **LEM** » 23 июн 2007, 19:19

Пусть A = {2, 3, 4, 5} - Ваше множество. B = {} - пустое множество. Укажите в множестве B элемент, которого нет в множестве A.

B множестве B нет элементов,
B множестве A их 4 , ни одного из них нет в B.
To что их именно 4 доказыват формула ,нахождения подмножеств множества.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 23 июн 2007, 20:28

Определение подмножества:
A является подмножеством B, если для любого элемента x из того что x принадлежит A следует что x принадлежит B.
$A \subseteq B \Rightarrow \forall x(x \in A \Rightarrow x \in B )$

$(A \subseteq B \Rightarrow \forall x(x \in A \Rightarrow x \in B )) \Leftrightarrow ((A \subseteq B ) \Rightarrow (\forall x(x \notin A \vee x \in B )))$
A является подмножеством B, если любой элемент x или не принадлежит A или принадлежит B.

подставим вместо A пустое множество
$(\not O \subseteq B ) \Rightarrow (\forall x(x \notin \not O \vee x \in B ))$
так как $x \notin \not O$ всегда истинно, то всегда истинно $\forall x(x \notin \not O \vee x \in B )$ A значит всегда истинно и $\not O \subseteq B$

Доказательство от противного
$(A \not \subseteq B ) \Rightarrow \bar{\forall x(x \notin A \vee x \in B )} \Leftrightarrow \exist x(x \in A \wedge x \notin B )$
подставим вместо A пустое множество
$(\not O \not \subseteq B ) \Rightarrow \exist x(x \in \not O \wedge x \notin B )$
так как $x \in \not O$ всегда ложно, то всегда ложно $\exist x(x \in \not O \wedge x \notin B )$ A значит всегда ложно и $\not O \not \subseteq B$

yourdomain.com