Комбинаторика

uniquem · Сообщение **uniquem** » 19 май 2007, 21:06

Помогите пожалуйста c задачей по комбинаторике!!
ЗАДАЧА:
Ha праздничном столе стоит торт, который разрезан на 24 куска. Сколькими способами можно угостить 8 гостей, если каждый гость съест хотя бы 2 кусочка торта...

Если бы каждый гость съел бы 3 кусочка, то я бы задачку решила, a в данном случае не знаю куда девать оставшиеся куски...
Помогите пожалуйста разобраться.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 20 май 2007, 00:12

Раздадим гостям по 2 куска. У нас останется 8 кусков. Их можем раздать как захечется - хоть всё одному гостю (пусть обожрется).

Способов раздать 8 кусков 8 гостям $$=8^8$$

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 20 май 2007, 00:14

a вот и нет)
еще нужно поделить на факториал восьми если я не ошибаюсь
если у нас имеется к примеру не 8 a два лишних куска
раздаем их:
1-й например 1-му гостю
2-й 3-му гостю,
вот такой вот способ
другой способ
1-й - 3-му
2-й - 1-му
способы вроде разные но исход то один и тот же

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 20 май 2007, 00:22

Pavlovsky писал(а):Source of the post
Способов раздать 8 кусков 8 гостям

A почему? это ж вроде количество перестановок - 8!

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 20 май 2007, 00:46

Я был не прав.

Вот так вроде верно:
$C_{15}^8$

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 20 май 2007, 01:38

aaa...вообще теперь не понятно..откудова 15 то взялось??
по моему конструкция которая здесь нужна называется сочетаниями c повторениями...

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 20 май 2007, 12:15

Pavlukhin писал(а):Source of the post
aaa...вообще теперь не понятно..откудова 15 то взялось??
по моему конструкция которая здесь нужна называется сочетаниями c повторениями...

[url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%...%BD%D0%B8%D0%B5]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%...%BD%D0%B8%D0%B5[/url]

uniquem · Сообщение **uniquem** » 20 май 2007, 13:15

Как я думала делать:
сочетание без повторений или перестановки c повторениями- 1гость выбрал из 24 кусков,
2 гость из 22 кусков,
3 гость из 20 кусков,
4 из 18, 5 из 16, 6 из 14, 7 из 12, 8 из 10 кусков.
Затем остается ещё 8 кусков.
если использовать сочетание c повторениями из n видов по k элементов

$$C^k_n$$

=

A что здесь n, что k???

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 20 май 2007, 14:50

Число сочетаний c повторениями:

$C_{(n)}^k=C_{n+k-1}^k$
По ссылке есть прикольное доказательство этого соотношения
[url=http://www.college.ru/mathematics/courses/...ph3/theory.html]http://www.college.ru/mathematics/courses/...ph3/theory.html[/url]
Решим задачу следующим образом. Пусть количество кусков пирога доставшихся гостю №1 k1, гостю №2 – k2, гостю №3 – k3 и так далее. Запишем каждое из этих чисел последовательностью из соответствующего количества единиц, a на границах между числами поставим нули.
Так, если гостю №1 досталось 1 кусок, гостю №2 – 3 куска, гостю №3,№4 – 0 кусков, гостю №5,№6,№7,№8 – 1 кусок, то запись будет выглядеть следующим образом: 101110001010101. B этой цепочке содержится k = 8 единиц, n – 1 = 8 – 1 = 7 нулей – всего n + k – 1 = 15 цифр. Количество перестановок c повторениями этих цифр равно $C_{n+k-1}^k=C_{15}^8$

B текущей задаче k=8 - количество кусков пирога, n=8 - количество гостей

uniquem · Сообщение **uniquem** » 21 май 2007, 17:35

Всем СПАСИБО ЗА ПОМОЩЬ, вот только не соображу
A это решение на всю задачу, или только на 8 кусков??

yourdomain.com