Рассмотрим двумерный массив размером
В классической теории множеств вводится понятие единицы и понятие сложения. С помощью этих понятий определяются и упорядочиваются натуральные числа. Затем вводится операция отношения, появляются рациональные числа. Это подход Кантора, Рассела.
Однако ничто не мешает ввести например сначала понятие бесконечности, затем операцию отношения. С помощью отношения бесконечностей определить 1, затем операцию сложения и таким образом с помощью операций сложения-отношения определить не только натуральные, но все действительные числа.
Ключевой момент здесь в нескольких аспектах:
1. Определение объекта.
2. Определение операций с объектом.
3. Определение результатов после воздействия на объект.
Так вот, если мы в качестве объекта определим двумерный массив
Если взглянуть с этой точки зрения на подход Кантора- Рассела, то они:
1. Определяют 1.
2. Определяют операцию прибавления 1.
3. Определяют натуральные числа как результат операции.
Т.е. определяют натуральные числа из множества мощности 1 и операции сложения.
Недостатком такого подхода является то, что натуральные, рациональные и иррациональные числа определяются различными операциями. Также бесконечности для натуральных и действительных чисел не могут быть сопоставлены по этой причине. Т.е. различные типы чисел имеют различное происхождение, однако это опровергается перенормировкой и переопределением единиц. Т.е. в реальности все типы чисел имеют единую природу и единую структуру.
Преимущества определения чисел через двумерный массив - все типы чисел получаются в результате одинаковой операции над объектом, такой подход вскрывает единство их происхождения.
И еще один интересный момент:
Подтверждением равенства мощностей множеств N и Re[0,1] является эквивалентность операций и объектов из которых получены эти множества, а также результатов воздействия операций на объекты.
Рассмотрим двумерный массив:
.........................
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Множество натуральных чисел получается из этого массива путем последовательного перехода от элементов нижней строки к элементам верхней строки. При этом цифры нижней строки являются всегда единицами, второй снизу строки - десятками, третьей - сотнями,.........
Рассмотрим этот же двумерный массив, но перевернутый "вверх ногами":
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
..........................
Множество действительных чисел отрезка [0,1] получается путем последовательного перехода от элементов верхней строки к элементам нижней строки. При этом цифра верхней строки всегда являются десятыми, второй стороки - сотыми, третьей строки - тысячными,........., в десятичной записи действительных чисел отрезка [0,1]
Очевидно, что в верхней таблице каждое натуральное число представлено единственным образом, а в нижней таблице единственным образом представлено каждое действительное число отрезка [0,1] , и мощность обеих множеств в таком представлении одинакова.
