помогите решить задачки и объясните

jlali · Сообщение **jlali** » 07 сен 2008, 15:20

1. Ha уроке литературы учитель решил узнать, кто из 38 учащихся читал книги A B C . результаты опроса оказались таковы, книгу A прочитало 23 ученика, B-20, C-20, A и B-12, A и C -10, B и C -8. Ни одной книги не прочитало пять учеников. сколько учеников прочитали все три книги?

2. Ha какую цивру оканчивается число 2003 в степени 2005 минус 2004 в степени 2006?

jarik · Сообщение **jarik** » 07 сен 2008, 15:32

jlali писал(а):Source of the post
1. Ha уроке литературы учитель решил узнать, кто из 38 учащихся читал книги A B C . результаты опроса оказались таковы, книгу A прочитало 23 ученика, B-20, C-20, A и B-12, A и C -10, B и C -8. Ни одной книги не прочитало пять учеников. сколько учеников прочитали все три книги?

Код: Выбрать все

У меня вышло 5 учащихся читали все три книжки.

Поторопился маленько, сейчас исправлюсь.

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 07 сен 2008, 16:07

jlali писал(а):Source of the post
1. Ha уроке литературы учитель решил узнать, кто из 38 учащихся читал книги A B C . результаты опроса оказались таковы, книгу A прочитало 23 ученика, B-20, C-20, A и B-12, A и C -10, B и C -8. Ни одной книги не прочитало пять учеников. сколько учеников прочитали все три книги?

2. Ha какую цивру оканчивается число 2003 в степени 2005 минус 2004 в степени 2006?

1. 0

Надо нарисовать три взаимнопересекающихся окружности, каждая из которых соответствует количеству учащихся, которые читали данную книгу. B общем случае эти окружности образуют 7 областей: Только C - a1, только B - a3, только A - a5, только CB - a2, только AB - a4, только AC - a6, ABC - a7. Сумма семи неизвестных равна 33. Из рисунка видно, что, например, если из числа учащихся, прочитавших книгу A вычесть число учащихся, причитавших книги A и C, то получится число, равное сумме учащихся, которые прочитали либо только книгу A, либо только книги AB, или в принятых обозначениях - величина a4+a5 = 23-10=13. Аналогично: a1+a2=10, a2+a3=8, a3+a4=12, a5+a6=11, a6+a7=10. Отсюда сразу вытекает, что a3=0, и далее легко получить: a2=8, a1=2, a4=12, a5=1, a6=10, a7=0.

2. 3

При возведении числа 2003 в некоторую степень последние цифры составляют ряд 3-9-7-1-3-9-7-1-3-9-7-1..., откуда видно, что для показателя степени 2005 последняя цифра будет равна 3. Для числа 2004 эта же последовательность суть: 4-6-4-6-4-6-4-6..., откуда вытекает, что для показателя степени 2006 последняя цифра будет равна 6, и, следовательно, последняя цифра рассматриваемой разности будет 3, причем число будет отрицательным.

jarik · Сообщение **jarik** » 07 сен 2008, 16:52

Пусть

- множество учеников в классе;
$$A$$

- множество учащихся прочитавших книгу A;
$$B$$

- .................................................... книгу Б;
$$C$$

- ....................................................книгу C;
$$D$$

- .......................не прочитал ни одной книги.
По условию задачи: $U=A\cup B\cup C\cup D$ , a также $D\cap (A\cup B\cup C)=\emptyset$ и
$n(A)=23\,;\, n(B)=20\,;\, n(C)=20\,;\, n(D)=5\\n(A\cap B)=12\,; \, n(A\cap C)=10 \,; \, n(B\cap C)=8$

$1)\, n(A\cup B\cup C)=23+20+20-10-12-8+n(A\cap B\cap)\\2)\, n(A\cup B\cup C)=n(U)-n(D) \to 33+n(A\cap B\cap C)=38-5$

Получилось, что нуль учащихся читали все три книги сразу.
Как-то так.

jlali · Сообщение **jlali** » 07 сен 2008, 19:43

спасибо всем большое

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 08 сен 2008, 13:50

Bo второй задаче первое (меньшее) число нечетно, второе - четно, разность - нечетна.

venja · Сообщение **venja** » 08 сен 2008, 16:15

jarik писал(а):Source of the post
Пусть - множество учеников в классе;
- множество учащихся прочитавших книгу A;
- .................................................... книгу Б;
- ....................................................книгу C;
- .......................не прочитал ни одной книги.
По условию задачи: $U=A\cup B\cup C\cup D$ , a также $D\cap (A\cup B\cup C)=\emptyset$ и
$n(A)=23\,;\, n(B)=20\,;\, n(C)=20\,;\, n(D)=5\\n(A\cap B)=12\,; \, n(A\cap C)=10 \,; \, n(B\cap C)=8$

$1)\, n(A\cup B\cup C)=23+20+20-10-12-8+n(A\cap B\cap)\\2)\, n(A\cup B\cup C)=n(U)-n(D) \to 33+n(A\cap B\cap C)=38-5$

Получилось, что нуль учащихся читали все три книги сразу.
Как-то так.

Я получил тот же ответ, но другим путем (используя формулы из теории вероятностей).

jarik · Сообщение **jarik** » 12 сен 2008, 06:34

venja писал(а):Source of the post
Я получил тот же ответ, но другим путем (используя формулы из теории вероятностей).

Да, действительно. Задача про поездку туристической группы.

senior51 · Сообщение **senior51** » 12 сен 2008, 10:29

jlali писал(а):Source of the post
2. Ha какую цивру оканчивается число 2003 в степени 2005 минус 2004 в степени 2006?

Задачи такого типа являются стандартными в теории чисел , хочется напомнить их решение, дабы избежать столь словесного описания решения предложенной задачи. Итак , допустим необходимо найти две последние цифры, нахождение же последней цифры выполняется аналогично.
1. Находим значение функции Эйлера для значения равного 100, так как именно при делении числа на сто , получим остаток равный числу из двух последних цифр числа:
$\phi(m)=(1-\frac{1}{p_1})(1- \frac{1}{p_2})*...*(1- \frac{1}{p_k}),m=p^{ \alpha _1}_1*p^{ \alpha _2}_2*...*p^{ \alpha _k}_k\Rightarrow m=100=2^2*5^2,\phi(m)=\phi(100)=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})=40$
2. Применяем сравнение Эйлера :
$a^{\phi(m)}\equiv 1(mod m) \Rightarrow 2003^{40}\equiv 1(mod100), (2003,100)=1$ ;
c чётом того, что
$2003^{2005}=2003^{2000}*2003^5\Rightarrow 2003^{2005}\equiv 2003^5 (mod100),2003=3(mod100) \Rightarrow 2003^5 \equiv 3^5(mod100)\Rightarrow 3^5\equiv 43(mod100)\Rightarrow 2003^{2005}=100q+43$
2.1 Аналогичная последовательность вычислений и для второго числа: $2004^{2006}=100k+96$
3. Окончательно запишем: $2003^{2005}-2004^{2006}=100q+43-(100k+96)=-[100(k-q)+53]$ ;
предпоследняя 5, последняя 3.
P.S. Возможно кому-то пригодится при изучении числовых функций в теории чисел.

venja · Сообщение **venja** » 12 сен 2008, 11:06

jarik писал(а):Source of the post
Да, действительно. Задача про поездку туристической группы.

:yes:

yourdomain.com