Уравнение a^x=bx

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 20 июл 2007, 13:39

Подскажите! Уравнения вида $$a^x=bx$$

или

что ли совсем никак не решаются?

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 20 июл 2007, 13:47

B общем случае, насколько я знаю можно найти только приближенное решение c помощью численных методов

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 20 июл 2007, 13:58

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
B общем случае, насколько я знаю можно найти только приближенное решение c помощью численных методов

A не в общем виде?
Пусть приближенное решение, но только не численными методами. A ввиде оценки $$A<x<B$$

Если можно, дайте пожалуйста ссылки.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 20 июл 2007, 15:02

Pavlovsky писал(а):Source of the post
A не в общем виде?
Пусть приближенное решение, но только не численными методами. A ввиде оценки
Если можно, дайте пожалуйста ссылки.

Ну например c помощью численного метода половинного деления (кажись так он называется) можно установить оценку $$A<x<B$$

.
Процедура довольно проста
Обозначим $$f(x)=a^x-bx$$

0. сначала находим грубую оценку $$A_0<x<B_0$$

, если х - корень, то $$f(A_0)f(B_0)<0$$

1. Находим знак $f(\frac {A_0+B_0} {2})$
2. Если $f(\frac {A_0+B_0} {2})f(B_0)>0$ , то $$A_1=A_0$$

, $B_1=\frac {A_0+B_0} {2}$ иначе $A_1=\frac {A_0+B_0} {2}$ , $$B_1=B_0$$

3. Повторяем пункты 1,2 пока длина отрезка не станет меньше заданной точности $\eps$

Хотя как я понял вам надо A и B в виде некоторых функций, т.e $A=G(a,b,\eps)$

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 20 июл 2007, 15:05

История такая. Задали задачку:
Любое число можно разложить на простые множители. И обратно - по степеням простых в разложении числа можно восстановить число. Будем самый правый разряд (разряд единиц) понимать как степень двойки, разряд десятков - как степень тройки, разряд сотен - как степень пятёрки и т.д.

Пример:
"просточисленная" запись 1003 соответствует числу 2^3 * 7 = 56

Минимальное число, которое одинаково записывается в обоих системах счисления, равно 12. Найдите второе число c таким же свойством.
[url=http://forum.sources.ru/index.php?showtopic=194093]http://forum.sources.ru/index.php?showtopic=194093[/url]

Программисты думают максимум 5 секунд, после чего сразу начинают писать код, решая проблемы по мере их возникновения.

Интересно как будут решать эту задачу господа математики?

Dmitrij · Сообщение **Dmitrij** » 21 июл 2007, 00:17

Могу предложить следующее:

1) Постройте приближенно графики левой и правой частей. Дело в том, что показательная функция нарастает гораздо быстрее степенной (в частном случае линейной, что вы и предложили), a значит, пересекаться они могутлишь в небольшой окрестности начала координат.

Далее следующее:

- если a>1, то показательная функция монотонно возрастает на всей области определения. Решение придется искать численным путем. Используйте методы половинного деления, касательных, секущих, описанные почти во всех учебниках по численному анализу.

- если a<1, то показ. функция монотонно убывает на всей области определения. Если b>0, то правая часть монотонно возрастает. Есть теорема, утвержающая, что если на некотором интервале поведение ф-ий противоположно (одна возрастает-другая убывет и наоборот, a также случай вырождения одной из ф-ий в константу), то они могут пересекаться только в одной точке. Это существенно упрощает решение, т.к. вы будете точно знать общее число корней.

C уважением,

Dmitrij

alexpro · Сообщение **alexpro** » 24 июл 2007, 18:15

Предыдущий пост - это вода. Похоже, что эта задача гробовая, a-ля "3n+1" задачи. Время покажет.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 24 июл 2007, 18:17

Очевидно что такое число должно быть четным, также лекго доказать, что в разряде сотен должен стоять 0. Пока ничего больше не придумывается

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 24 июл 2007, 18:42

У меня получилось пока так.
1) Надо решить уравнение $$2^x3^y5^z...=x+10y+100z+...$$

2)Пусть условиям удовлетворяет N>5 значное число, тогда в десятичной системе оно может быть максимум $10^{N+1}$ . Ho тогда сумма цифр в просточисленной системе начиная c 5 цифры (соответсвует 11) должна быть меньше $${N+1}$$

. Причем если учесть, что в старшем разряде у нас хотя бы единица, то значительно меньше. Получается странное число состоящее в основном из 1 и 0, особенно в старших разрядах.

alexpro · Сообщение **alexpro** » 26 июл 2007, 02:43

Pavlovsky писал(а):Source of the post
У меня получилось пока так.
1) Надо решить уравнение $2^{x_1}3^{x_2}5^{x_3}...=x_1+10x_2+100x_3+...$
2)Пусть условиям удовлетворяет N>5 значное число, тогда в десятичной системе оно может быть максимум $10^{N+1}$ . Ho тогда сумма цифр в просточисленной системе начиная c 5 цифры (соответсвует 11) должна быть меньше .

Более точно это можно выразить так:

$x_1/\log_2 10+x_2/\log_3 10+x_3/\log_5 10+...+x_N/\log_{p_N} 10<N$

или так

$x_1\ln 2+x_2\ln 3+x_3\ln 5+...+x_N\ln p_N<N\ln 10$ .

yourdomain.com