Преследование на Плоскости

wizzzi · Сообщение **wizzzi** » 07 дек 2010, 07:35

Подскажите, пожалуйста, как должны вести себя преследователи в следующей ситуации:
Один убегающий окружен N преследователями. Скорости убегающего и преследователя равны. Преследователи образуют выпуклый многоугольник.

Ian · Сообщение **Ian** » 07 дек 2010, 11:43

wizzzi писал(а):Source of the post
Подскажите, пожалуйста, как должны вести себя преследователи в следующей ситуации:
Один убегающий окружен N преследователями. Скорости убегающего и преследователя равны. Преследователи образуют выпуклый многоугольник.

И надо полагать, "окружен" означает -находится внутри этого выпуклого многоугольника.
Для каждого преследователя B рассмотрим треугольники ABO и OBC, O-убегающий, A и C - соседние 2 преследователя.
Утверждение в том, что возможна совместная стратегия, при которой радиусы описанных окружностей каждого из таких треугольников убывают, причем некоторые быстро.Кроме того, при исполнении этой стратегии порядок преследователей на выпуклой оболочке не меняется, чтобы все было корректно.
Например, если O бежит к центру окружности, описанной около OBC, то B и C бегут к нему же и там его поймают, a ближе никак невозможно.
Ho пока не могу задать направления движения в общем случае.
B общем мое предложение, чтобы стратегия уменьшала сумму радиусов этих N описанных окружностей co скоростью не ниже некоторого положительного числа

Добавлю другую стратегию, не столь быстрой поимки. Если трем преследователям A,B,C удастся занять такие положения, что углы AOB,BOC,COA по 120^o, то дальше они смогут сохранить такое свойство углов, и каждый из них сможет не удаляться от O, a при наличии возможности приближаться. Такая возможность будет у того, c чьим лучом OA,OB, или OC вектор скорости образует острый угол, кстати найдется угол не более 60^oТогда хотя бы одно из расстояний сокращается на $v\Delta t$ , a остальные не возрастают.Значит, за время, не более суммы расстояний AO+BO+CO, деленное на макс. скорость, поимка состоится. Остальные N-3 отдыхают и улюлюкают

A вот родилась стратегия гарантированной поимки общая, но еще более медленная, на основе последней стратегии, c элементами от первой. Углы AOB,BOC,COA пусть не по 120,но строго меньше 180, и пусть преследователи A,B,C стремятся сохранить значения этих углов (направления лучей OA,OB,OC). Наибольший из трех углов обозначим $\alpha<\pi$ , тогда сближение хотя бы одного не меньше $2\cos\frac{\alpha}2v\Delta t$ , и гарантированное время поимки $\frac{|AO|+|BO|+|CO|}{2\cos\frac{\alpha}2v}$

yourdomain.com